试题

（2008·泸州）如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函数y=

4

x

（x＞0）的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x轴上
（1）求P₁的坐标；
（2）求y₁+y₂+y₃+…y₁₀的值．

解：（1）由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，则有x₁²=4，故x₁=±2（负舍），点P₁（2，2）．

（2）解：过P₁作P₁B⊥OA₁于B，过P₂作P₂C⊥A₁A₂于C，
∵△OP₁A₁、△A₁P₁A₂是等腰直角三角形，
∴OB=BP₁=BA₁=x₁=y₁
∴y₂=A₁C=OC-A₁B-OB=x₂-x₁-y₁，
同理可得：y₃=x₃-x₂-y₂，y₄=x₄-x₃-y₃，…，y₁₀=x₁₀-x₉-y₉，
又yn=

4

xn

，则：x2-4=

4

x2

，解得，x2=2

2

+2．
∴y2=2

2

-2，
∴x3-4

2

=

4

x3

，x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
同理，依次得x2=2

2

+2，y2=2

2

-2，
x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
x4=2

4

+2

3

，y4=2

4

-2

3

，
x5=2

5

+2

4

，y5=2

5

-2

4

，
…
x9=2

9

+2

8

，y9=2

9

-2

8

，
x₁₀=2

10

+2

9

，y₁₀=2

10

-2

9

，
∴y₁+y₂+y₃+…+y₁₀=2+2

2

-2+2

3

-2

2

+2

4

-2

3

+…+2

9

-2

8

+2

10

-2

9

=2

10

．
解：（1）由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，则有x₁²=4，故x₁=±2（负舍），点P₁（2，2）．

（2）解：过P₁作P₁B⊥OA₁于B，过P₂作P₂C⊥A₁A₂于C，
∵△OP₁A₁、△A₁P₁A₂是等腰直角三角形，
∴OB=BP₁=BA₁=x₁=y₁
∴y₂=A₁C=OC-A₁B-OB=x₂-x₁-y₁，
同理可得：y₃=x₃-x₂-y₂，y₄=x₄-x₃-y₃，…，y₁₀=x₁₀-x₉-y₉，
又yn=

4

xn

，则：x2-4=

4

x2

，解得，x2=2

2

+2．
∴y2=2

2

-2，
∴x3-4

2

=

4

x3

，x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
同理，依次得x2=2

2

+2，y2=2

2

-2，
x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
x4=2

4

+2

3

，y4=2

4

-2

3

，
x5=2

5

+2

4

，y5=2

5

-2

4

，
…
x9=2

9

+2

8

，y9=2

9

-2

8

，
x₁₀=2

10

+2

9

，y₁₀=2

10

-2

9

，
∴y₁+y₂+y₃+…+y₁₀=2+2

2

-2+2

3

-2

2

+2

4

-2

3

+…+2

9

-2

8

+2

10

-2

9

=2

10

．