试题

（2009·孝感）如图，点P是双曲线y=

k1

x

（k₁＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=

k2

x

（0＜k₂＜|k₁|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

解：（1）四边形PEOF的面积S₁=四边形PAOB的面积+三角形OAE的面积+三角形OBF的面积=|k₁|+k₂=k₂-k₁； （3分）

（2）①EF与AB的位置关系为平行，即EF∥AB．（4分）
证明：如图，由题意可得：
A（-4，0），B（0，3），E(-4，-

k2

4

)，F(

k2

3

，3)，
∴PA=3，PE=3+

k2

4

，PB=4，PF=4+

k2

3

∴

PA

PE

=

3

3+ k2 4

=

12

12+k2

，

PB

PF

=

4

4+ k2 3

=

12

12+k2

，
∴

PA

PE

=

PB

PF

，（6分）
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；（7分）

②S₂没有最小值，理由如下：
过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q，
由上知M（0，-

k2

4

），N（

k2

3

，0），Q（

k2

3

，-

k2

4

）（8分）
而S_△EFQ=S_△PEF，
∴S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF
=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
=

1

2

k2+

1

2

k2+

k2

3

·

k2

4

=k2+

1

12

k

2 2

=

1

12

(k2+6)2-3，（10分）
当k₂＞-6时，S₂的值随k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12，（11分）
∵k₂=12时S₂=24，
∴0＜S₂＜24，S₂没有最小值．（12分）
故（1）的答案为：k₂-k₁