试题

题目：
青果学院如图，△OA1B1，△B1A2B2是等边三角形，点A1，A2在函数y=
1
3
x
的图象上，点B1，B2在x轴的正半轴上，分别求△OA1B1，△B1A2B2的面积．
答案
青果学院解：分别过A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
设OD=m，B1E=n（m＞0，n＞0）．
∵△OA1B1，△B1A2B2是等边三角形，
∴∠OA1D=∠B1A2E=30°，
∴A1D=
3
OD=
3
m，A2E=
3
B1E=
3
n，OE=2m+n，
∴A1的坐标为（m，
3
m），A2的坐标为（2m+n，
3
n），
又∵点A1在函数y=
1
3
x
的图象上，
∴
3
m=
1
3
m
，解得m=
3
3
（m=-
3
3
舍去），
∴OB1=2m=
2
3
3
，OE=
2
3
3
+n．
∵点A2在函数y=
1
3
x
的图象上，
∴
3
n·（
2
3
3
+n）=
1
3
，解得n1=
-
3
+
6
3
，n2=
-
3
-
6
3
（舍去），
∴n=
-
3
+
6
3
，
∴B1B2=2n=
2(
6
-
3
)
3
，
∴△OA1B1的面积=
3
4
OB12=
3
4
×（
2
3
3
）2=
3
3
，
△B1A2B2的面积=
3
4
B1B22=
3
4
×[
2(
6
-
3
)
3
]2=
3
3
-2
6
3
．
青果学院解：分别过A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
设OD=m，B1E=n（m＞0，n＞0）．
∵△OA1B1，△B1A2B2是等边三角形，
∴∠OA1D=∠B1A2E=30°，
∴A1D=
3
OD=
3
m，A2E=
3
B1E=
3
n，OE=2m+n，
∴A1的坐标为（m，
3
m），A2的坐标为（2m+n，
3
n），
又∵点A1在函数y=
1
3
x
的图象上，
∴
3
m=
1
3
m
，解得m=
3
3
（m=-
3
3
舍去），
∴OB1=2m=
2
3
3
，OE=
2
3
3
+n．
∵点A2在函数y=
1
3
x
的图象上，
∴
3
n·（
2
3
3
+n）=
1
3
，解得n1=
-
3
+
6
3
，n2=
-
3
-
6
3
（舍去），
∴n=
-
3
+
6
3
，
∴B1B2=2n=
2(
6
-
3
)
3
，
∴△OA1B1的面积=
3
4
OB12=
3
4
×（
2
3
3
）2=
3
3
，
△B1A2B2的面积=
3
4
B1B22=
3
4
×[
2(
6
-
3
)
3
]2=
3
3
-2
6
3
．
考点梳理
反比例函数综合题．
分别过A1、A2作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设OD=m，B1E=n（m＞0，n＞0）．根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到A1D=
3
OD=
3
m，A2E=
3
B1E=
3
n，OE=2m+n，得到A1的坐标为（m，
3
m），A2的坐标为（2m+n，
3
n），然后先把A1的坐标代入反比例解析式求得m的值，再把A2的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的
3
4
倍计算即可．
本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．
综合题．
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