试题

如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别于A、B两点，点D在y轴上，且DB=DA，延长AD到C，使DC=DA，双曲线y=

k

x

过点C．

（1）求k的值．
（2）如图，直线y=-x交双曲线y=

k

x

（x＜0）于G，Q为双曲线的图象上另一点，连OQ，GN⊥OQ于N，GM⊥x轴于M，若四边形OMGN的面积为4，求线段MN的长．

解：（1）如图1，过C作CH⊥x轴于H．
∵直线y=-2x+4与x轴、y轴分别于A、B两点，
∴当y=0时，x=2，即A（2，0）．
当x=0时，y=4，即B（0，4）．
∴0A=2，OB=4．
设OD=x，则AD=BD=4-x，
在Rt△A0D中，由勾股定理得2²+x²=（4-x）²，
∴x=

3

2

，
∵DC=OA，易证△AOD≌△CHD
∴CH=OA=2，DH=OD=

3

2

∴C（-2，3），
∵点C在双曲线y=

k

x

上，
∴k=3×（-2）=-6；

（2）如图2，过M作ME⊥OQ于点E，MF⊥NG，交NG延长线于点F．
∵直线y=-x交双曲线y=-

6

x

（x＜0）于G，
∴GM=OM=

6

，
∵∠MOE+∠MGN=∠MGF+∠MGN=180°
∴∠MOE=∠MGF，
∴在△MOE与△MGF中，

∠MEO=∠MFG ∠MOE=∠MGF OM=GM

∴△MOE≌△MGF（AAS），
∴MF=ME，易得四边形MFNE是正方形，由△MOE≌△MGF可得四边形OMGN的面积等于正方形MFNE的面积，
∴FM=FN=2，
在Rt△MFN中，由勾股定理得MN=2

2

．
解：（1）如图1，过C作CH⊥x轴于H．
∵直线y=-2x+4与x轴、y轴分别于A、B两点，
∴当y=0时，x=2，即A（2，0）．
当x=0时，y=4，即B（0，4）．
∴0A=2，OB=4．
设OD=x，则AD=BD=4-x，
在Rt△A0D中，由勾股定理得2²+x²=（4-x）²，
∴x=

3

2

，
∵DC=OA，易证△AOD≌△CHD
∴CH=OA=2，DH=OD=

3

2

∴C（-2，3），
∵点C在双曲线y=

k

x

上，
∴k=3×（-2）=-6；

（2）如图2，过M作ME⊥OQ于点E，MF⊥NG，交NG延长线于点F．
∵直线y=-x交双曲线y=-

6

x

（x＜0）于G，
∴GM=OM=

6

，
∵∠MOE+∠MGN=∠MGF+∠MGN=180°
∴∠MOE=∠MGF，
∴在△MOE与△MGF中，

∠MEO=∠MFG ∠MOE=∠MGF OM=GM

∴△MOE≌△MGF（AAS），
∴MF=ME，易得四边形MFNE是正方形，由△MOE≌△MGF可得四边形OMGN的面积等于正方形MFNE的面积，
∴FM=FN=2，
在Rt△MFN中，由勾股定理得MN=2

2

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