试题

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过A点作AD⊥x轴于D，已知OA=

5

，

AD

OD

=

1

2

，点B的坐标为（

1

2

，m）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；
（3）试问在y轴上是否存在着点P使S_△APB=5？如果有，请求出P点坐标；如果没有，请说明理由．

解：（1）如图，连接OB，在Rt△AOD中，OA=

5

，AD=

1

2

OD，且OD²+AD²=OA²，
代入解得AD=1，OD=2，
故A（-2，1），
则反比例函数解析式为：xy=k=-2，
y=-

2

x

，
已知B点横坐标为

1

2

，
则（-2）×1=

1

2

m，
解得m=-4，
故B（

1

2

，-4），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=1 1 2 k+b=-4

，
得

k=-2 b=-3

，
直线AB解析式为y=-2x-3，

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，
即反比函数图象在一次函数的上方时，
利用图象可以得出，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞

1

2

；

（3）∵直线AB解析式为y=-2x-3，
∴图象与y轴交于点E（0，-3），
∴EO=3，
∵S_△APB=5，A点横坐标为：-2，B点横坐标为：

1

2

，
∴S_△AEP=

1

2

×2×PE=PE，
S△_PEB=

1

2

×

1

2

PE，
∴

1

4

PE+PE=

5

4

PE=5，
∴PE=4，
∴P点坐标为：（0，1），
若P点在E点下方，可以得出P′E=4，
∴P′点坐标为（0，-7）．
故P点坐标为：（0，1）或（0，-7）
解：（1）如图，连接OB，在Rt△AOD中，OA=

5

，AD=

1

2

OD，且OD²+AD²=OA²，
代入解得AD=1，OD=2，
故A（-2，1），
则反比例函数解析式为：xy=k=-2，
y=-

2

x

，
已知B点横坐标为

1

2

，
则（-2）×1=

1

2

m，
解得m=-4，
故B（

1

2

，-4），
设直线AB解析式为y=kx+b，
则

-2k+b=1 1 2 k+b=-4

，
得

k=-2 b=-3

，
直线AB解析式为y=-2x-3，

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，
即反比函数图象在一次函数的上方时，
利用图象可以得出，x的取值范围是：-2＜x＜0或x＞

1

2

；

（3）∵直线AB解析式为y=-2x-3，
∴图象与y轴交于点E（0，-3），
∴EO=3，
∵S_△APB=5，A点横坐标为：-2，B点横坐标为：

1

2

，
∴S_△AEP=

1

2

×2×PE=PE，
S△_PEB=

1

2

×

1

2

PE，
∴

1

4

PE+PE=

5

4

PE=5，
∴PE=4，
∴P点坐标为：（0，1），
若P点在E点下方，可以得出P′E=4，
∴P′点坐标为（0，-7）．
故P点坐标为：（0，1）或（0，-7）