试题

如图在平面直角坐标系中，O为坐标原点，平移直线y=-x，平移后的直线分别交x轴、y轴于点A、点B
（1）当直线AB与反比例函数y=

1

x

（x＞0）图象只有一个公共点P时，求点P的坐标；
（2）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转90°至AC，在x轴上是否存在点Q，使∠BQC=45°？如果存在，请求点Q的坐标．
（3）平移直线AB，平移后与反比例函数y=

1

x

（x＞0）图象相交于点M、N，当MN=4

2

时，求直线MN的解析式．

解：（1）设直线AB为y=-x+b
将直线y=-x+b与y=

1

x

联立方程组，消元得-x+b=

1

x

，
变形得x²-bx+1=0，依题意有：（-b）²-4×1×1=0
取正值为b=2，
当b=2时，x²-2x+1=0
解得：x₁=x₂=1，
故点P（1，1）；

（2）如图1，存在点Q，使得∠BQC=45°，理由：
以点A为圆心，AB为半径作⊙A，交x轴于点Q₁、Q₂
则∠BQ₁C=∠BQ₂C=

1

2

∠BAC=45°，
∵由（1）得出b=2，
∴y=-x+2，当y=0时，0=-x+2，
解得：x=2，
当x=0时，y=2，
∴直线y=-x+2与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，2），
∴AQ₁=AQ₂=AB=

22+22

=2

2

，
∴OQ₁=2

2

-2，OQ₂=2

2

+2，
∴Q₁（-2

2

+2，0），Q₂（2

2

+2，0）；

（3）如图2，设直线AB为y=-x+b，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将直线y=-x+b与y=

1

x

联立方程组，消元得-x+b=

1

x

，
变形得x²-bx+1=0，则x₁+x₂=b，x₁x₂=1，
构造以MN为斜边的等腰直角△NEM，
∵EN=EM，MN=4

2

，NE ²+EM ²=MN ²，
∴2NE ²=（4

2

）²，
解得：NE=4，
∴x₁-x₂=4，
∴（x₁+x₂） ²-4x₁x ₂=（x₁-x₂）²=16，
∴b²-4×1=16，
解得：b=±2

5

．
b取正值得b=2

5

．
解：（1）设直线AB为y=-x+b
将直线y=-x+b与y=

1

x

联立方程组，消元得-x+b=

1

x

，
变形得x²-bx+1=0，依题意有：（-b）²-4×1×1=0
取正值为b=2，
当b=2时，x²-2x+1=0
解得：x₁=x₂=1，
故点P（1，1）；

（2）如图1，存在点Q，使得∠BQC=45°，理由：
以点A为圆心，AB为半径作⊙A，交x轴于点Q₁、Q₂
则∠BQ₁C=∠BQ₂C=

1

2

∠BAC=45°，
∵由（1）得出b=2，
∴y=-x+2，当y=0时，0=-x+2，
解得：x=2，
当x=0时，y=2，
∴直线y=-x+2与x轴交点坐标为（2，0），与y轴交点坐标为（0，2），
∴AQ₁=AQ₂=AB=

22+22

=2

2

，
∴OQ₁=2

2

-2，OQ₂=2

2

+2，
∴Q₁（-2

2

+2，0），Q₂（2

2

+2，0）；

（3）如图2，设直线AB为y=-x+b，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将直线y=-x+b与y=

1

x

联立方程组，消元得-x+b=

1

x

，
变形得x²-bx+1=0，则x₁+x₂=b，x₁x₂=1，
构造以MN为斜边的等腰直角△NEM，
∵EN=EM，MN=4

2

，NE ²+EM ²=MN ²，
∴2NE ²=（4

2

）²，
解得：NE=4，
∴x₁-x₂=4，
∴（x₁+x₂） ²-4x₁x ₂=（x₁-x₂）²=16，
∴b²-4×1=16，
解得：b=±2

5

．
b取正值得b=2

5

．