试题

（2011·洛江区质检）如图，面积为8的矩形ABOC的边OB、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A在双曲线y=

k

x

的图象上，且AC=2．
（1）求k值；
（2）将矩形ABOC以B旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FBDE，双曲线交DE于M点，交EF于N点，求△MEN的面积．
（3）在双曲线上是否存在一点P，使得直线PN与直线BC平行？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）∵矩形ABOC的面积为8，且AC=2，
∴AB=4，
∵点A在第一象限
∴A（2，4），
∵顶点A在双曲线y=

k

x

的图象上，
将A点代入双曲线函数中，得：即k=8；

（2）∵矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF，
∴点N、E纵坐标为2，点M、E横坐标为6，
∴将y=2代入y=

8

x

中，得x=4，
将x=6代入y=

8

x

中，则y=

4

3

，
∴M（6，

4

3

），E（6，2），N（4，2），
∴EM=

2

3

，EN=2，
∴S△MEN=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

．

（3）设直线BC的表达式为y=mx+b（m≠0），
∵B（2，0）、C（0，4）
∴

0=2m+b 4=b

得

m=-2 b=4

∴直线BC的表达式为y=-2x+4，
若直线PN∥BC，则可设直线PN为y=-2x+a
把N（4，2）代入，得a=10
∴直线PN为y=-2x+10，
由

y=-2x+10 y= 8 x

得

x1=1 y1=8

x2=4 y2=2

∴P点的坐标为（1，8）．
解：（1）∵矩形ABOC的面积为8，且AC=2，
∴AB=4，
∵点A在第一象限
∴A（2，4），
∵顶点A在双曲线y=

k

x

的图象上，
将A点代入双曲线函数中，得：即k=8；

（2）∵矩形ABOC以B为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形BDEF，
∴点N、E纵坐标为2，点M、E横坐标为6，
∴将y=2代入y=

8

x

中，得x=4，
将x=6代入y=

8

x

中，则y=

4

3

，
∴M（6，

4

3

），E（6，2），N（4，2），
∴EM=

2

3

，EN=2，
∴S△MEN=

1

2

×2×

2

3

=

2

3

．

（3）设直线BC的表达式为y=mx+b（m≠0），
∵B（2，0）、C（0，4）
∴

0=2m+b 4=b

得

m=-2 b=4

∴直线BC的表达式为y=-2x+4，
若直线PN∥BC，则可设直线PN为y=-2x+a
把N（4，2）代入，得a=10
∴直线PN为y=-2x+10，
由

y=-2x+10 y= 8 x

得

x1=1 y1=8

x2=4 y2=2

∴P点的坐标为（1，8）．