试题

题目：
青果学院（2012·泸州）如图，一次函数y=ax+b的图象与y轴、x轴分别交于点A（0，
3
）、B（3，0），与反比例函数y=
k
x
的图象在第一象限交于C、D两点．
（1）求该一次函数的解析式．
（2）若AC·AD=
3
，求k的值．
答案
青果学院解：（1）∵一此函数y=ax+b的图象经过点A（0，
3
），（3，0），
∴
b=
3
3a+b=0
，解得
a=-
3
3
b=
3
，
∴一次函数的解析式为：y=-
3
3
x+
3
；

（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，
在Rt△AOB中，
∵AO=
3
，BO=3，
∴∠ABO=30°，
∵直线AB与双曲线y=
k
x
相交于点C、D，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
∵
y=-
3
3
x+
3
y=
k
x
，得x2-3x+
3
k=0，
∴x1·x2=
3
k，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE=∠ABO=30°，CE=x1，
∴AC=
x1
3
·2=
2
3
3
x1，
同理，在Rt△ADF中，AD=
x2
3
·2=
2
3
3
x2，
∵AC·AD=
3
，
∴
2
3
3
x1·
2
3
3
x2=
3
，即x1·x2=
3
3
4
，
∴
3
k=
3
3
4
，
∴k=
3
4
．
青果学院解：（1）∵一此函数y=ax+b的图象经过点A（0，
3
），（3，0），
∴
b=
3
3a+b=0
，解得
a=-
3
3
b=
3
，
∴一次函数的解析式为：y=-
3
3
x+
3
；

（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，
在Rt△AOB中，
∵AO=
3
，BO=3，
∴∠ABO=30°，
∵直线AB与双曲线y=
k
x
相交于点C、D，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
∵
y=-
3
3
x+
3
y=
k
x
，得x2-3x+
3
k=0，
∴x1·x2=
3
k，
在Rt△ACE中，
∵∠ACE=∠ABO=30°，CE=x1，
∴AC=
x1
3
·2=
2
3
3
x1，
同理，在Rt△ADF中，AD=
x2
3
·2=
2
3
3
x2，
∵AC·AD=
3
，
∴
2
3
3
x1·
2
3
3
x2=
3
，即x1·x2=
3
3
4
，
∴
3
k=
3
3
4
，
∴k=
3
4
．
考点梳理
反比例函数综合题．
（1）把点A（0，
3
）、B（3，0）代入一次函数y=ax+b求出ab的值即可得出此函数的解析式；
（2）分别过点C、D作CE⊥y轴于E，DF⊥y轴于F，再由AB两点的坐标判断出∠ABO的度数，设C（x1，y1），D（x2，y2），联立一次函数与反比例函数的解析式可得出x1·x2=
3
k，在Rt△ACE与Rt△ADF中可分别用x1，x2表示出AC及AD的长，再由AC·AD=
3
即可求出k的值．
本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
压轴题；探究型．
找相似题