如图，将边长为4的等边△AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=frac{k}{x}（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，...-青果题库-青果学院

题目：

（2013·龙岩）如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=

k

x

（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S_△OCF=

3

，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．

答案

解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S_△OCF=

1

2

xy=

3

，
∴xy=2

3

，
∴k=2

3

，
∴反比例函数解析式为y=

2

3

x

（x＞0）；

（2）该圆与y轴相离，
理由为：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，
青果学院

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则tan∠AOB=

EH

OH

=

3

，
∴EH=

3

m，OE=2m，
∴E坐标为（m，

3

m），
∵E在反比例y=

2

3

x

图象上，
∴

3

m=

2

3

m

，
∴m₁=

2

，m₂=-

2

（舍去），
∴OE=2

2

，EA=4-2

2

，EG=

2

，
∵4-2

2

＜

2

，
∴EA＜EG，
∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离；

（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
青果学院

∴BC=FB·cos∠FBC=

1

2

x，FC=FB·sin∠FBC=

3

2

x，
∴AF=4-x，OC=OB-BC=4-

1

2

x，
∵AE⊥FE，
∴AE=AF·cosA=2-

1

2

x，
∴OE=OA-AE=

1

2

x+2，
∴OH=OE·cos∠AOB=

1

4

x+1，EH=OE·sin∠AOB=

3

4

x+

3

，
∴E（

1

4

x+1，

3

4

x+

3

），F（4-

1

2

x，

3

2

x），
∵E、F都在双曲线y=

k

x

的图象上，
∴（

1

4

x+1）（

3

4

x+

3

）=（4-

1

2

x）·

3

2

x，
解得：x₁=4，x₂=

4

5

，
当BF=4时，AF=0，

BF

AF

不存在，舍去；
当BF=

4

5

时，AF=

16

5

，BF：AF=1：4．
解：（1）设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S_△OCF=

1

2

xy=

3