试题

（2013·宁德）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．
如图1，矩形ABOC的周长与面积相等，则点A是“和谐点”
（1）判断点E（2，3），F（4，4）是否为“和谐点”；
（2）如图2，若点P（a，b）是双曲线y=

18

x

上的“和谐点”，求满足条件的所有P点坐标．

解：（1）根据在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”，
∵点E（2，3），2×（2+3）=10，2×3=6，
∴10≠6，
∴E点不是“和谐点”，
∵点F（4，4），2×（4+4）=16，4×4=16，
∴16=16，
∴F点是“和谐点”；

（2）设P点坐标为：（x，

18

x

），由题意得出：18=2|x+

18

x

|，
当18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²-9x+18=0，
解得：x₁=3，x₂=6，
当-18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²+9x+18=0，
解得：x₃=-3，x₄=-6，
∴P点坐标为：（3，6），（6，3），（-3，-6），（-6，-3）．
解：（1）根据在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若垂线与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”，
∵点E（2，3），2×（2+3）=10，2×3=6，
∴10≠6，
∴E点不是“和谐点”，
∵点F（4，4），2×（4+4）=16，4×4=16，
∴16=16，
∴F点是“和谐点”；

（2）设P点坐标为：（x，

18

x

），由题意得出：18=2|x+

18

x

|，
当18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²-9x+18=0，
解得：x₁=3，x₂=6，
当-18=2（x+

18

x

）
整理得出：x²+9x+18=0，
解得：x₃=-3，x₄=-6，
∴P点坐标为：（3，6），（6，3），（-3，-6），（-6，-3）．