试题

如图，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数y=

2

x

交于点A（1，2），与x轴交于点M，与y轴交于点N．
（1）当点M的坐标为（3，0）时，求此一次函数解析式及其与y=

2

x

的另一个交点B的坐标；
（2）在（1）的条件下，过A作AC⊥x轴于点D，连接OB交AC于E，试写出图中与△AOE面积相等的图形，并说明理由；
（3）当点M在x轴上运动时，是否能使OA²=AM·AN？若存在，试直接写出所有适合的点M的坐标（不必写出解答过程）；若并不存在，请说明理由．

（1）解：把M，A代入一次函数解析式得

3k+b=0 k+b=2

，
∴k=-1，b=3，
∴y=-x+3，由题意得

y=-x+3 y= 2 x

，
∴x=2，y=1或x=1，y=2，
∵A（1，2），
∴另一个交点B的坐标为（2，1）；

（2）解：∵k=2，
∴S_△AOC=A_△BOD=

|k|

2

=1，
∴都减去S_△COE，
∴梯形BECD的面积与△AOE面积相等，
由三角形中位线知E为OB中点，
∴△ABE的面积与△AOE面积相等，
∴与△AOE面积相等的图形有△ABE、梯形BECD；

（3）解：
①若△OAM∽△NAO，此时，MN⊥OA，从而M（5，0），如最左图所示，
②若△AON∽△AMO，可求出OM=3，从而M（-3，0），如左2图．这样求出本题两解．
若只这样考虑，殊不知，在考虑满足OA²=AM·AN时忽视了一类特殊情形，OA=AM=AN．
③若直线过原点，此时M、N与O重合，此时M（0，0）；
④若直线不与OA重合，此时△MNO为直角三角形，A为斜边MN的中点，OM=2，M（2，0）．

（1）解：把M，A代入一次函数解析式得

3k+b=0 k+b=2

，
∴k=-1，b=3，
∴y=-x+3，由题意得

y=-x+3 y= 2 x

，
∴x=2，y=1或x=1，y=2，
∵A（1，2），
∴另一个交点B的坐标为（2，1）；

（2）解：∵k=2，
∴S_△AOC=A_△BOD=

|k|

2

=1，
∴都减去S_△COE，
∴梯形BECD的面积与△AOE面积相等，
由三角形中位线知E为OB中点，
∴△ABE的面积与△AOE面积相等，
∴与△AOE面积相等的图形有△ABE、梯形BECD；

（3）解：
①若△OAM∽△NAO，此时，MN⊥OA，从而M（5，0），如最左图所示，
②若△AON∽△AMO，可求出OM=3，从而M（-3，0），如左2图．这样求出本题两解．
若只这样考虑，殊不知，在考虑满足OA²=AM·AN时忽视了一类特殊情形，OA=AM=AN．
③若直线过原点，此时M、N与O重合，此时M（0，0）；
④若直线不与OA重合，此时△MNO为直角三角形，A为斜边MN的中点，OM=2，M（2，0）．