试题

题目：
青果学院已知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分．在图上画出所有线段PC，使分割得到的三角形与Rt△OAB相似，并直接写出点C的坐标．
答案
青果学院解：如图，PC∥AB时，△OCP∽△OAB，此时点C的坐标为（3，0），
PC∥OA时，△PCB∽△OAB，此时点C的坐标为（6，4），
PC⊥OB时，△CPB∽△OAB，根据勾股定理得，OB=
62+82
=10，
∵P（3，4）为OB的中点，
∴PB=
1
2
OB=5，
∴
BC
OB
=
PB
AB
，
即
BC
10
=
5
8
，
解得BC=
25
4
，
AC=AB-BC=8-
25
4
=
7
4
，
此时点C的坐标为（6，
7
4
），
综上所述，点C的坐标为（3，0），（6，4），（6，
7
4
）．
青果学院解：如图，PC∥AB时，△OCP∽△OAB，此时点C的坐标为（3，0），
PC∥OA时，△PCB∽△OAB，此时点C的坐标为（6，4），
PC⊥OB时，△CPB∽△OAB，根据勾股定理得，OB=
62+82
=10，
∵P（3，4）为OB的中点，
∴PB=
1
2
OB=5，
∴
BC
OB
=
PB
AB
，
即
BC
10
=
5
8
，
解得BC=
25
4
，
AC=AB-BC=8-
25
4
=
7
4
，
此时点C的坐标为（6，
7
4
），
综上所述，点C的坐标为（3，0），（6，4），（6，
7
4
）．
考点梳理
作图—相似变换．
根据平行于三角形一边的直线分成的三角形与原三角形相似，可得PC∥AB，PC∥OA时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似，根据网格结构写出此时点C的坐标即可；
又当PC⊥OB时，分割得到的三角形与Rt△OAB也相似，根据网格结构，利用勾股定理求出OB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长度，再求出AC的长度，从而得到此时点C的坐标．
本题考查了利用相似变换作图，相似三角形的判定，需要特别注意“PC⊥OB”的情况容易漏掉而导致出错．
作图题；分类讨论．
找相似题