试题

题目：
青果学院如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若AC=6，cos∠BAC=
3
5
，求⊙O的直径．
答案
青果学院证明：（1）连接BC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠ACD=∠B，∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BAC；

（2）∵cos∠BAC=
3
5
，
∴
AC
AB
=
3
5
，
∵AC=6，
∴AB=10，
故⊙O的直径为10．
青果学院证明：（1）连接BC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵直线CD与⊙O相切于点C，
∴∠ACD=∠B，∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BAC；

（2）∵cos∠BAC=
3
5
，
∴
AC
AB
=
3
5
，
∵AC=6，
∴AB=10，
故⊙O的直径为10．
考点梳理
弦切角定理；解直角三角形．
（1）连接BC，OC，根据圆周角定理和弦切角定理可证得∠DAC=∠BAC；
（2）根据已知条件得
AC
AB
，从而求得AB的长．
本题考查了弦切角定理和圆周角定理以及解直角三角形，是基础知识要熟练掌握．
计算题．
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