试题

（2007·门头沟区一模）育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模型．为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影响，他们将电表接入电路中，其电路图如图所示．当只闭合开关S₁时，电压表的示数为U₁，电阻R₃消耗的电功率为P₃；当只闭合开关S₂时，电压表的示数为U₂，电阻R₃消耗的电功率为P₃′，测得此时电阻R₂消耗的电功率为1.6W．已知2U₁=U₂，P₃=4P₃′，电源两端电压保持不变．
（1）请你计算出电阻R₁与电阻R₂的比值．
（2）当开关S₁、S₂、S₃分别处于什么状态时，电路消耗的电功率最大，请你计算出这个电功率．

解：（1）只闭合S₁时，R₁和R₂串联，等效电路图如图1所示；只闭合S₂时，R₂和R₃串联，等效电路图如图2所示．

∵P=I²R，且P₃：P₃′=4：1，
∴

P3

P′3

=

I21R3

I22R3

=（

I1

I2

）²=

4

1

，
解得：

I1

I2

=

2

1

，
∵I=

U

R

，且U₁：U₂=1：2，
∴

U1

U2

=

I1R1

I2R2

=

I1

I2

×

R1

R2

=

2

1

×

R1

R2

=

1

2

，
解得：

R1

R2

=

1

4

；
（2）∵电源的电压不变，
∴

I1

I2

=

R2+R3

R1+R3

=

4R1+R3

R1+R3

=

2

1

，
解得：R₃=2R₁，R₂=2R₃，
图2中：I₂=

U

R2+R3

=

U

R2+ 1 2 R2

=

2U

3R2

，
P₂=I₂²R₂=（

2U

3R2

）²×R₂=

4

9

×

U2

R2

=1.6W，
即

U2

R2

=3.6W，
当S₁、S₂、S₃都闭合时，R₁和R₂并联，此时R_总最小，电路的总功率最大．

∵并联电路中各支路两端的电压相等，
∴电路消耗的最大功率：
P=P₁+P₂′=

U2

R1

+

U2

R2

=

U2

1 4 R2

+

U2

R2

=5

U2

R2

=5×3.6W=18W．
答：（1）电阻R₁与电阻R₂的比值为1：4；
（2）当S₁、S₂、S₃都闭合时，电路消耗总功率最大，最大为18W．
解：（1）只闭合S₁时，R₁和R₂串联，等效电路图如图1所示；只闭合S₂时，R₂和R₃串联，等效电路图如图2所示．

∵P=I²R，且P₃：P₃′=4：1，
∴

P3

P′3

=

I21R3

I22R3

=（

I1

I2

）²=

4

1

，
解得：

I1

I2

=

2

1

，
∵I=

U

R

，且U₁：U₂=1：2，
∴

U1

U2

=

I1R1

I2R2

=

I1

I2

×

R1

R2

=

2

1

×

R1

R2

=

1

2

，
解得：

R1

R2

=

1

4

；
（2）∵电源的电压不变，
∴

I1

I2

=

R2+R3

R1+R3

=

4R1+R3

R1+R3

=

2

1

，
解得：R₃=2R₁，R₂=2R₃，
图2中：I₂=

U

R2+R3

=

U

R2+ 1 2 R2

=

2U

3R2

，
P₂=I₂²R₂=（

2U

3R2

）²×R₂=

4

9

×

U2

R2

=1.6W，
即

U2

R2

=3.6W，
当S₁、S₂、S₃都闭合时，R₁和R₂并联，此时R_总最小，电路的总功率最大．

∵并联电路中各支路两端的电压相等，
∴电路消耗的最大功率：
P=P₁+P₂′=

U2

R1

+

U2

R2

=

U2

1 4 R2

+

U2

R2

=5

U2

R2

=5×3.6W=18W．
答：（1）电阻R₁与电阻R₂的比值为1：4；
（2）当S₁、S₂、S₃都闭合时，电路消耗总功率最大，最大为18W．