试题

题目：
青果学院如图，点A为双曲线y=
k
x
的图象上一点，点B是直线y=x的图象上一点，且AB⊥OB，若OB2-AB2=5，则k=
5
2
5
2
．
答案
5
2

青果学院解：过点A作AD∥x轴，交直线OB于点D，作AC∥y轴，交直线OB于点C，
∵直线OB的解析式为：y=x，
∴∠xOB=∠BOy=45°，
∴∠ADB=∠ACB=45°
∵AB⊥OB，
∴△ABD与△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AD=BC，
∵OB2-AB2=5，
∴（OB+AB）（OB-AB）=5，
即（OB+BD）（OB-BC）=OD·OC=5，
设点A的坐标为：（x，
k
x
），
∴点C的坐标为：（x，x），点D的坐标为：（
k
x
，
k
x
），
∴OC=
2
x，OD=
2
k
x
，
∴
2
x·
2
k
x
=5，
解得：k=
5
2
．
故答案为：
5
2
．
考点梳理
反比例函数综合题．
首先过点A作AD∥x轴，交直线OB于点D，作AC∥y轴，交直线OB于点C，易得△ABD与△ABC是等腰直角三角形，即AB=AD=BC，又由OB2-AB2=5，可得OD·OC=5，设点A的坐标为：（x，
k
x
），可得点C的坐标为：（x，x），点D的坐标为：（
k
x
，
k
x
），则OC=
2
x，OD=
2
k
x
，即可得方程：
2
x·
2
k
x
=5，解此方程即可求得答案．
此题考查了反比函数与一次函数的性质、平方差公式以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，解题的关键是辅助线的构造，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
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