试题

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…P_n（x_n，y_n）在函数y=

4

x

(x＞0)的图象上，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃，…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，斜边OA₁、A₁A₂、A₂A₃，…A_n-1A_n都在x轴上，则y₁+y₂+y₃+…+y₂₀₁₁的值为．

解：由△P₁OA₁是等腰直角三角形，得y₁=x₁，
∵P₁（x₁，y₁）在函数y=

4

x

(x＞0)的图象上，
∴x₁y₁=4，
则有y₁²=4，故y₁=±2不合题意舍去），
则y₁=2．
由题意知y₂=x₂-x₁-y₁，y₃=x₃-x₂-y₂，y₄=x₄-x₃-y₃，…，y₁₀=x₁₀-x₉-y₉，
又∵yn=

4

xn

，则：x₂-4=

4

x2

，解得x₂=2

2

+2．
∴y2=2

2

-2，
同理，依次得 x3=2

3

+2

2

，y3=2

3

-2

2

，
x4=2

4

+2

3

，y4=2

4

-2

3

，
x5=2

5

+2

4

，y5=2

5

-2

4

，
…
x_n=2

n

+2

n-1

，y_n=2

n

-2

n-1

，
∴y₁+y₂+…y_n=2+2

2

-2+2

3

-2

2

+…+2

n

-2

n-1

=2

n

．
∴y₁+y₂+…y₂₀₁₁=2

2011

．
故答案为：2

2011