试题

如图所示，已知A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）为反比例函数y=

1

x

图象上的两点，动点P（x，0）在x正半轴上运动，当线段AP与线段BP之和达到最小时，点P的坐标是；当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是．

解：∵把A（

1

2

，y₁），B（2，y₂）代入反比例函数y=

1

x

得：y₁=2，y₂=

1

2

，
∴A（

1

2

，2），B（2，

1

2

）．
（1）如图1，过x轴作点B的对称点B′，连接AB′与x轴的交点即为所求的点P，则B′（2，-

1

2

）．
设直线AB′为y=kx+b（k≠0），则

2= 1 2 k+b - 1 2 =2k+b

．
解得

k=- 5 3 b= 17 6

．
故直线AB′的解析式为：y=-

5

3

x+

17

6

．
令y=0，
解得，x=1.7．
故P（1.7，0）；

（2）∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP-BP|＜AB，
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA-PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=ax+c（a≠0）
把A、B的坐标代入得：

2= 1 2 x+c 1 2 =2x+c

，
解得：

a=-1 c= 5 2

，
∴直线AB的解析式是y=-x+

5

2

，
当y=0时，x=

5

2

，
即P（

5

2

，0）；
故答案是：（1.7，0）；（

5

2

，0）．