试题

已知：如图，把等腰△ABO放在直角坐标系中，AB=AO，点A的坐标是（-2，3），过△ABO的重心Q作x轴的平行线l，把△ABO沿直线l翻折，使得点A'落在第三象限．
（1）试直接写出点A′的坐标；
（2）若双曲线y=

a

x

过点A′，且它的另一分支与直线l相交于点C，试判断：直线A′C是否经过原点O？
（3）问：y轴上是否存在点P，使得△A′CP是直角三角形？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

解：（1）由题意：Q（-2，1），直线l为：y=1，则A'（-2，-1）；

（2）将A'（-2，-1）代入双曲线解析式，得双曲线解析式为：y=

2

x

．把y=1代入y=

2

x

，得C（2，1），再求得直线AC的解析式为：y=2x，把点O（0，0）代入y=2x，左=右，故直线A'C经过原点O．

（3）①当∠A'CP=90°时，设过点C的直线CP的解析式为：y=mx+n（m≠0），直线CP与x轴的交点为D，又过点C（2，1），则2m+n=1，n=1-2m，故y=mx+（1-2m），点D(

2m-1

m

， 0)，作CH⊥x轴，由△OHC∽△CHD可得：

OH

CH

=

CH

HD

，即CH²=OH·HD，
∴12=2×(

2m-1

m

-2)，解得：m=-2，故直线CP的解析式为y=-2x+5，令x=0，则y=5．故点P的坐标为P₁（0，5）．
②当∠PA'C=90°时，由双曲线的对称性可得另一点P的坐标为P₂（0，-5）．
③当∠A'PC=90°时，以A'C为直径作⊙O交y轴于两点P₃、P₄，由“直径所对的圆周角是直角”可知P₃、P₄符合题意，在Rt△OHC中，由勾股定理可得：OC=

5

，则点P3(0， 

5

)、P4(0， -

5

)．
解：（1）由题意：Q（-2，1），直线l为：y=1，则A'（-2，-1）；

（2）将A'（-2，-1）代入双曲线解析式，得双曲线解析式为：y=

2

x

．把y=1代入y=

2

x

，得C（2，1），再求得直线AC的解析式为：y=2x，把点O（0，0）代入y=2x，左=右，故直线A'C经过原点O．

（3）①当∠A'CP=90°时，设过点C的直线CP的解析式为：y=mx+n（m≠0），直线CP与x轴的交点为D，又过点C（2，1），则2m+n=1，n=1-2m，故y=mx+（1-2m），点D(

2m-1

m

， 0)，作CH⊥x轴，由△OHC∽△CHD可得：

OH

CH

=

CH

HD

，即CH²=OH·HD，
∴12=2×(

2m-1

m

-2)，解得：m=-2，故直线CP的解析式为y=-2x+5，令x=0，则y=5．故点P的坐标为P₁（0，5）．
②当∠PA'C=90°时，由双曲线的对称性可得另一点P的坐标为P₂（0，-5）．
③当∠A'PC=90°时，以A'C为直径作⊙O交y轴于两点P₃、P₄，由“直径所对的圆周角是直角”可知P₃、P₄符合题意，在Rt△OHC中，由勾股定理可得：OC=

5

，则点P3(0， 

5

)、P4(0， -

5

)．