试题

已知x₁，x₂是关于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个实数根．
（1）若x₁+2x₂=3-

2

，求x₁，x₂及k的值；
（2）在（1）的条件下，求x13-3x12+2x₁+x₂的值．
（3）若以方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=

m

x

的图象上，求满足条件的m的最小值．

解：（1）∵x₁，x₂是关于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个实数根，x₁+2x₂=3-

2

，
∴

x1+x2=2 x1+2x2=3- 2

，
解得

x1=1+ 2 x2=1- 2

，
∵x₁·x₂=k²-4k-1，
∴k²-4k-1=-1，
∴k₁=0，k₂=4；

（2）∵x13-3x12+2x₁+x₂
=x13-2x12-x₁²+2x₁+x₂
=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂，
又∵x₁，x₂是原方程的根，
∴x₁²-2x₁=1，
∴原式=x₁-1+x₂
=x₁+x₂-1
=2-1
=1；

（3）∵x₁，x₂是原方程的根，
∴x₁·x₂=k²-4k-1，
∵以方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=

m

x

的图象上，
∴m=x₁·x₂
=k²-4k-1
=（k-2）²-5，
∴当k=2时，m_最小=-5．
解：（1）∵x₁，x₂是关于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个实数根，x₁+2x₂=3-

2

，
∴

x1+x2=2 x1+2x2=3- 2

，
解得

x1=1+ 2 x2=1- 2

，
∵x₁·x₂=k²-4k-1，
∴k²-4k-1=-1，
∴k₁=0，k₂=4；

（2）∵x13-3x12+2x₁+x₂
=x13-2x12-x₁²+2x₁+x₂
=x₁（x₁²-2x₁）-（x₁²-2x₁）+x₂，
又∵x₁，x₂是原方程的根，
∴x₁²-2x₁=1，
∴原式=x₁-1+x₂
=x₁+x₂-1
=2-1
=1；

（3）∵x₁，x₂是原方程的根，
∴x₁·x₂=k²-4k-1，
∵以方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y=

m

x

的图象上，
∴m=x₁·x₂
=k²-4k-1
=（k-2）²-5，
∴当k=2时，m_最小=-5．