试题

如图，已知直角梯形OABD，AB∥OD，其中A、D分别在y、x轴上，过B（1，k）点的双曲线y=

k

x

与BD交于C点，且∠BDO=45°，若梯形AODB面积为15，
（1）求点k的值及直线BD的解析式；
（2）求tan∠BCO的值．

解：（1）过B作EB⊥x轴，
∵B（1，k），
∴AO=k，AB=1，
∵∠BDO=45°，
∴BE=ED=k，
∴DO=1+k，
∵△OBD面积为15，
∴（AB+DO）×AO=30，
即（1+k）·k=30，
解得：k=5或-6，
∵B在第一象限，
∴k=5，
∴B（1，5），D（6，0）
设BD的直线解析式为y=kx+b，

k+b=5 6k+b=0

，
解得：

k=-1 b=6

，
∴y=-x+6；

（2）连接OB，过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CM⊥OD于点M，过点O作ON⊥BC于点N，
∵∠BDO=45°，∴MC=DM，
则设C点坐标为：（6-a，a），
代入y=

5

x

解得：a=1或5（不合题意舍去），
故C点坐标为（5，1），
∴BC=

42+42

=4

2

，
∵S_△AOB=S_△COM=

1

2

×1×5=

5

2

，S_△CMD=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴S_△BCO=15-

5

2

-

5

2

-

1

2

=9

1

2

，
∵

1

2

NO×BC=9

1

2

，
∴NO=

19 2

8

，
∵BO=CO=

26

，NO⊥BC，
∴NC=BN=

1

2

BC=2

2

，
∴tan∠BCO=

NO

NC

=

19 2 8

2 2

=

19

16

．
解：（1）过B作EB⊥x轴，
∵B（1，k），
∴AO=k，AB=1，
∵∠BDO=45°，
∴BE=ED=k，
∴DO=1+k，
∵△OBD面积为15，
∴（AB+DO）×AO=30，
即（1+k）·k=30，
解得：k=5或-6，
∵B在第一象限，
∴k=5，
∴B（1，5），D（6，0）
设BD的直线解析式为y=kx+b，

k+b=5 6k+b=0

，
解得：

k=-1 b=6

，
∴y=-x+6；

（2）连接OB，过点O作ON⊥BC于点N，过点C作CM⊥OD于点M，过点O作ON⊥BC于点N，
∵∠BDO=45°，∴MC=DM，
则设C点坐标为：（6-a，a），
代入y=

5

x

解得：a=1或5（不合题意舍去），
故C点坐标为（5，1），
∴BC=

42+42

=4

2

，
∵S_△AOB=S_△COM=

1

2

×1×5=

5

2

，S_△CMD=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴S_△BCO=15-

5

2

-

5

2

-

1

2

=9

1

2

，
∵

1

2

NO×BC=9

1

2

，
∴NO=

19 2

8

，
∵BO=CO=

26

，NO⊥BC，
∴NC=BN=

1

2

BC=2

2

，
∴tan∠BCO=

NO

NC

=

19 2 8

2 2

=

19

16

．