如图，分别取反比例函数y=frac{{k}_{1}}{x}，y=frac{{k}

题目：

如图，分别取反比例函数y=

k1

x

，y=

k2

x

图象的一支，等腰中Rt△AOB中，OA⊥OB，OA=OB=2，AB交y轴于C，∠AOC=60°
青果学院

（1）将△AOC沿y轴折叠得△DOC，试判断D点是否存在y=

k1

x

的图象上，并说明理由．
（2）连接BD，求S_{四边形OCBD}．
（3）若将直线OB向上平移，分别交y=

k2

x

于E点，交y=

k1

x

于F点，在向上平移过程中，是否存在某一时刻使得EF=2？若存在，试求此时直线EF的解析式；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）如图1，分别过点A、B作AE⊥x轴于点E，BF⊥y轴与F，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOE=90°-60°=30°，
∵OA=2，
∴AE=1，OE=

3

，
∴A（-

3

，1），
∴k₂=-

3

，
同理可得，k₁=

3

，
∴y=

3

x

，
∵A、D关于y轴对称，
∴D（

3

，1），代入y=

3

x

成立，
∴D点是否存在y=

k1

x

的图象上；

（2）过点B作BP⊥OD于点P，
∵△AOC≌△DCO，
∴∠AOC=∠DOC=60°，
∵∠BOF=30°，
∴∠BOP=30°，
∴OB是∠DOF的平分线，
∴BP=BF，
∵∠COA=60°，∠OAC=45°，
∴∠OCA=∠FCB=75°，
∵∠BOD=30°，OA=OB，OA=OD，
∴OB=OD，
∴∠BDP=75°，
∴∠BDP=∠BCF，
∴∠DBP=∠CBF，
在△BDP与△BCF中，
∵

∠DBP=∠CBF

BP=BF

∠BFC=∠BPD

，
∴△BDP≌△BCF，
∴S_△BDP=S_△BCF，
在Rt△OPB与Rt△OFB中，
∵

BF=BP

OB=OB

，
∴Rt△OPB≌Rt△OFB，
∴S_{四边形OCBD}=2S_△OFB=2×

1

2

×

3

×1=

3

；

（3）∵点E在反比例函数y=-

3

x

的图象上，
∴设E（a，-

3

a

）（a＜0），
∵EF∥OB，EF=OB=2，
∴四边形OBFE是平行四边形，
∵O（0，0），
∴B（1，

3

），F（a+1，

-

3

a

+

3

），
∵点F在反比例函数y=

3

x

的图象上，
∴（a+1）（-

3

a

+

3

）=

3

，
∴a²-a-1=0，
∴a₁=

1+

5

2

（舍去），a₂=

1-

5

2

，
∴E（

1-

5

2

，-

15

+

3

4

），F（

3-

5

2

，

15

+

3

2

），
设过EF两点的直线解析式为y=kx+b（k≠0），
∴

15

-

3

2

=

1-

5

2

k+b

15

+

3

2

=

3-

5

2

k+b

，解得

k=

3

b=

15

-

3

，
∴直线EF的解析式为：y=

3

x+

15

-

3

．
解：（1）如图1，分别过点A、B作AE⊥x轴于点E，BF⊥y轴与F，
∵∠AOC=60°，
∴∠AOE=90°-60°=30°，
∵OA=2，
∴AE=1，OE=

3