试题

如图，过点P（2，

2

）作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线y=

k

x

（x＞0）于点M，连接AN=6．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的函数解析式；
（3）试判断△AMN的形状？并说明理由．

解：（1）∵P（2，

2

），AN∥x轴，
∴N的纵坐标为

2

，（1分）
∵AN=6，
∴N的横坐标为6，
∴N（6，

2

），（2分）
∴k=xy=6

2

；（3分）

（2）∵P（2，

2

），PM⊥AN，
∴M的横坐标为2，（4分）
∴纵坐标y=

k

x

=

6 2

2

=3

2

，即M（2，3

2

），
设直线MN的一次函数解析式为y=mx+b，则有：

2 =6m+b 3 2 =2m+b

，
解得：

m=- 2 2 b=4 2

，（5分）
∴直线MN的函数解析式为y=-

2

2

x+4

2

；（6分）

（3）△AMN为直角三角形，理由如下：
∵P（2，

2

），M（2，3

2

），N（6，

2

），
∴PA=2，PM=3

2

-

2

=2

2

，PN=6-2=4，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得：AM²=PA²+PM²=12，（7分）
在Rt△PMN中，MN²=PN²+PM²=24，（8分）
又∵AN=6，即AN²=36，
∴AM²+MN²=12+24=36=AN²，（9分）
∴△AMN为直角三角形．（10分）
解：（1）∵P（2，

2

），AN∥x轴，
∴N的纵坐标为

2

，（1分）
∵AN=6，
∴N的横坐标为6，
∴N（6，

2

），（2分）
∴k=xy=6

2

；（3分）

（2）∵P（2，

2

），PM⊥AN，
∴M的横坐标为2，（4分）
∴纵坐标y=

k

x

=

6 2

2

=3

2

，即M（2，3

2

），
设直线MN的一次函数解析式为y=mx+b，则有：

2 =6m+b 3 2 =2m+b

，
解得：

m=- 2 2 b=4 2

，（5分）
∴直线MN的函数解析式为y=-

2

2

x+4

2

；（6分）

（3）△AMN为直角三角形，理由如下：
∵P（2，

2

），M（2，3

2

），N（6，

2

），
∴PA=2，PM=3

2

-

2

=2

2

，PN=6-2=4，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得：AM²=PA²+PM²=12，（7分）
在Rt△PMN中，MN²=PN²+PM²=24，（8分）
又∵AN=6，即AN²=36，
∴AM²+MN²=12+24=36=AN²，（9分）
∴△AMN为直角三角形．（10分）