试题

如图，一次函数y=x与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点A，点B（3，0）是x轴正半轴上一点，S_△OAB=3．
（1）求A点的坐标和k的值；
（2）点C是双曲线y=

k

x

（x＞0）图象上一动点，过点C做x轴的平行线，与y=x的图象交于点D，是否存在以点O、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点C的坐标；
（3）点P是x轴上一点，若能得到以点O、P、C、D为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出点P横坐标的范围．

解：（1）过点A作AH⊥OB，

由题意得，S_△OBA=

1

2

×OB×AH=3，
∵OB=3，
∴AH=2，
∵点A在函数y=x的图象上，
∴点A为（2，2），
把点A代入y=

k

x

中，可得2=

k

2

，
解得：k=4．
即点A的坐标为（2，2），k的值为4．
（2）设点C的坐标为(

4

a

，a)，则点D的纵坐标和点C的纵坐标相同，可得D（a，a），
分两种情况：
①点C、D在点A下方时：CD=

4

a

-a，
若四边形OBCD为平行四边形，CD=OB=3，
即

4

a

-a=3，整理得：a²+3a-4=0，
解得：a₁=-4（舍），a₂=1，
即C（4，1）．
②点C、D在点A上方时：CD=a-

4

a

，
若四边形OBDC为平行四边形，CD=OB=3，
即a-

4

a

=3，整理得：a²-3a-4=0，
解得：a₁=4（舍），a₂=-1（舍），
即C（1，4）．
（3）①当点C的坐标为（4，1），点D坐标为（1，1）时，要使O、P、C、D为顶点的四边形为等腰梯形，
则点P的横坐标应大于点C的横坐标：P_横＞4；
②当点C的坐标为（1，4），点D坐标为（4，4）时，要使O、P、C、D为顶点的四边形为等腰梯形，
则点P的横坐标应大于点D的横坐标：P_横＞4；
综上可得点P的横坐标大于4．
解：（1）过点A作AH⊥OB，

由题意得，S_△OBA=

1

2

×OB×AH=3，
∵OB=3，
∴AH=2，
∵点A在函数y=x的图象上，
∴点A为（2，2），
把点A代入y=

k

x

中，可得2=

k

2

，
解得：k=4．
即点A的坐标为（2，2），k的值为4．
（2）设点C的坐标为(

4

a

，a)，则点D的纵坐标和点C的纵坐标相同，可得D（a，a），
分两种情况：
①点C、D在点A下方时：CD=

4

a

-a，
若四边形OBCD为平行四边形，CD=OB=3，
即

4

a

-a=3，整理得：a²+3a-4=0，
解得：a₁=-4（舍），a₂=1，
即C（4，1）．
②点C、D在点A上方时：CD=a-

4

a

，
若四边形OBDC为平行四边形，CD=OB=3，
即a-

4

a

=3，整理得：a²-3a-4=0，
解得：a₁=4（舍），a₂=-1（舍），
即C（1，4）．
（3）①当点C的坐标为（4，1），点D坐标为（1，1）时，要使O、P、C、D为顶点的四边形为等腰梯形，
则点P的横坐标应大于点C的横坐标：P_横＞4；
②当点C的坐标为（1，4），点D坐标为（4，4）时，要使O、P、C、D为顶点的四边形为等腰梯形，
则点P的横坐标应大于点D的横坐标：P_横＞4；
综上可得点P的横坐标大于4．