试题

如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=4，OB=2，反比例函数y=

k

x

(k≠0)在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
（3）在（2）的情况下，连结AO并延长它，交反比例函数的图象于点Q，点P是x轴上的一个动点（不与点O、B重合），
①当点P的坐标为多少时，四边形ABQP是矩形？请说明理由．
②过点A作AF⊥x轴于点F，问：当点P的坐标为多少时，△PAF与△OAF相似？（直接写出答案）

解：（1）如图1所示，过点C作CE⊥x轴于点E，则∠AOB=∠BEC=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠OBA+∠EBC=90°，
又∵∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EBC，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE=OA=4，CE=OB=2，
∴OE=OB+BE=6，
∴点C的坐标为（6，2）．
将C（6，2）代入y=

k

x

，得 2=

k

6

，解得 k=12，
∴反比例函数的关系式为y=

12

x

；

（2）∵A（0，4），
∴OA=4，
当y=4时，x=

12

4

=3，
∴将正方形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度时，点A恰好落在反比例函数的图象上．
故答案为：3；

（3）①当点P的坐标为（-5，0）时，四边形ABQP是矩形．
理由如下：
∵由（2）知A（3，4），B（5，0），双曲线上各点关于原点对称，
∴点A与点Q关于原点对称，
∴Q（-3，-4），
∴AO=AQ=

32+42

=5，
又∵PO=OB=5，
∴四边形ABQP是平行四边形，
又∵PB=AQ=10，
∴四边形ABQP是矩形；
②∵A（3，4），F（3，0），
∴OA=5，
设P（x，0），
当△AOF∽△PAF时，

AF

PF

=

OF

AF

，即

4

|3-x|

=

3

4

，解得x=-

7

3

或x=

25

3

，
∴P（-

7

3

，0）或（

25

3

，0）；
当△AOF∽△APF时，
∵AF=AF，
∴OF=PF，
∴P（6，0），
故点P的坐标为（-

7

3

，0）或（

25

3

，0）或（6，0）．