试题

已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C和点Q，DC、DQ分别交反比例函数的图象于点F和点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图象于点E．
（1）当点D的纵坐标为9时，求：点E、F的坐标．
（2）当点D在线段OP的延长线上运动时，试猜想AE与DF的数量关系，并证明你的猜想．

解：（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=k₁x，y=

k 2

x

，把P（2，3）分别代入得k₁=

3

2

，k₂=6，
∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=

3

2

x，y=

6

x

，
又∵点D的纵坐标为9，
∴对于y=

3

2

x，令y=9，得9=

3

2

x，解得x=6，
∴D点坐标为（6，9），
∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴，
∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，
∵点A与点F在反比例y=

6

x

的图象上，
∴把y=9代入y=

6

x

得x=

2

3

，把x=6代入y=

6

x

得y=1，
∴A点坐标为（

2

3

，9），F点坐标为（6，1），
又∵AB⊥x轴，
∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为

2

3

，
而点E在直线y=

3

2

x上，把x=

2

3

代入y=

3

2

x得y=1，
∴E点坐标为（

2

3

，1）；

（2）AE与DF相等．理由如下：
设D点坐标为（a，

3

2

a），
则A点的纵坐标为

3

2

a，点F的横坐标为a，
把y=

3

2

a代入y=

6

x

得x=

4

a

，把x=a代入y=

6

x

得y=

6

a

，
∴A点坐标为（

4

a

，

3

2

a），F点坐标为（a，

6

a

），
∴DF=

3

2

a-

6

a

；
又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为

4

a

，
而点E在直线y=

3

2

x上，把x=

4

a

代入y=

3

2

x得y=

6

a

，
∴E点坐标为（

4

a

，

6

a

）
∴AE=

3

2

a-

6

a

，
∴AE=DF．
解：（1）设正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=k₁x，y=

k 2

x

，把P（2，3）分别代入得k₁=

3

2

，k₂=6，
∴正比例函数与反比例函数的解析式分别为y=

3

2

x，y=

6

x

，
又∵点D的纵坐标为9，
∴对于y=

3

2

x，令y=9，得9=

3

2

x，解得x=6，
∴D点坐标为（6，9），
∵DC⊥x轴，DQ⊥y轴，
∴A点的纵坐标为9，点F的横坐标为6，
∵点A与点F在反比例y=

6

x

的图象上，
∴把y=9代入y=

6

x

得x=

2

3

，把x=6代入y=

6

x

得y=1，
∴A点坐标为（

2

3

，9），F点坐标为（6，1），
又∵AB⊥x轴，
∴点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为

2

3

，
而点E在直线y=

3

2

x上，把x=

2

3

代入y=

3

2

x得y=1，
∴E点坐标为（

2

3

，1）；

（2）AE与DF相等．理由如下：
设D点坐标为（a，

3

2

a），
则A点的纵坐标为

3

2

a，点F的横坐标为a，
把y=

3

2

a代入y=

6

x

得x=

4

a

，把x=a代入y=

6

x

得y=

6

a

，
∴A点坐标为（

4

a

，

3

2

a），F点坐标为（a，

6

a

），
∴DF=

3

2

a-

6

a

；
又∵点E的横坐标与点A的横坐标相同，即点E的横坐标为

4

a

，
而点E在直线y=

3

2

x上，把x=

4

a

代入y=

3

2

x得y=

6

a

，
∴E点坐标为（

4

a

，

6

a

）
∴AE=

3

2

a-

6

a

，
∴AE=DF．