试题

如图，在平面直角坐标系中，点A、B为正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=

m

x

（m≠0）的交点，过点A作AC平行于x轴，过点B作BC平行于y轴，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N，若∠BAC=60°，AB=4，
（1）求k与m的值；
（2）将一把三角尺的直角顶点放在原点O处，绕着点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q，设点P的横坐标为x，PQ的长为L，当点p在边AC上运动时，求L与x的函数关系式；
（3）当△PQC的面积为

3

2

时，求点P的坐标．

解：（1）根据反比例函数图形的对称性可知点A、B关于原点对称，
∵∠BAC=60°，AB=4，
∴∠BON=60°，OB=

1

2

AB=2，
∴在△BON中，ON=OBcos60°=1，BN=OBsin60°=

3

，
∴点B的坐标是（1，

3

），点A的坐标为（-1，-

3

），
∴k×1=

3

，

m

1

=

3

，
解得k=

3

，m=

3

；

（2）∵∠QON+∠NOP=90°，∠MOP+∠NOP=90°，
∴∠QON=∠MOP，
又∵∠OMP=∠ONQ=90°，
∴△OMP∽△OQN，
∴

MP

QN

=

OM

ON

，
即

x

QN

=

3

1

，
解得QN=

3

3

x，
在Rt△PCQ中，L=

CP2+CQ2

=

(1-x)2+( 3 3 x+ 3 )2

=

4 3 x2+4

；
∴L与x的函数关系式为L=

4 3 x2+4

；

（3）S_△PQC=

1

2

PC×CQ=

1

2

（1-x）（

3

3

x+

3

）=

3

2

，
整理得x²+2x=0，
解得x₁=0或x₂=-2，
此时点P的坐标为（0，-

3

）或（-2，-

3

）．
解：（1）根据反比例函数图形的对称性可知点A、B关于原点对称，
∵∠BAC=60°，AB=4，
∴∠BON=60°，OB=

1

2

AB=2，
∴在△BON中，ON=OBcos60°=1，BN=OBsin60°=

3

，
∴点B的坐标是（1，

3

），点A的坐标为（-1，-

3

），
∴k×1=

3

，

m

1

=

3

，
解得k=

3

，m=

3

；

（2）∵∠QON+∠NOP=90°，∠MOP+∠NOP=90°，
∴∠QON=∠MOP，
又∵∠OMP=∠ONQ=90°，
∴△OMP∽△OQN，
∴

MP

QN

=

OM

ON

，
即

x

QN

=

3

1

，
解得QN=

3

3

x，
在Rt△PCQ中，L=

CP2+CQ2

=

(1-x)2+( 3 3 x+ 3 )2

=

4 3 x2+4

；
∴L与x的函数关系式为L=

4 3 x2+4

；

（3）S_△PQC=

1

2

PC×CQ=

1

2

（1-x）（

3

3

x+

3

）=

3

2

，
整理得x²+2x=0，
解得x₁=0或x₂=-2，
此时点P的坐标为（0，-

3

）或（-2，-

3

）．