试题

如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），∠AOC=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为y=

k

x

，在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O′B′．设P（t，0），
（1）当点O′与点A重合时，t的值是；
（2）当B′落在双曲线上时，t的值是．

解：（1）点O′与点A重合时，直线l垂直平分OA，如图1，
连PA，则PA=PO，
∵B（2，0），∠AOB=60°，
∴OB=2，
∴AB=

3

OB=2

3

，
∵P点坐标为（t，0），则PA=PO=t，PB=t-2，
在Rt△PAB中，PA²=PB²+AB²，即t²=（t-2）²+（2

3

）²，解得t=4，
故答案为：4；

（2）连接BB′，B′P，作B′D⊥x轴于点D，
∵点B于点B′重合，
∴直线l是线段BB′的垂直平分线，
∴BP=B′P，
∵OA⊥l，
∴OA∥BB′，
∴∠B′BP=∠AOB=60°，
∴B′D是线段BP的垂直平分线，
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），
∵OB=2，AB=2

3

，
∴A（2，2

3

），
∴2k=2

3

，即k=

3

，
∴直线OA的解析式为y=

3

x，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴反比例函数的解析式为：y=

4 3

x

①．
∵B（2，0），
∴直线BB′的解析式为：y=

3

x-2

3

②，
①②联立得，

x=1+ 5 y= 15 - 3

，
∴B′（1+

5

，

15

-

3

），
∴BD=1+

5

-2=

5

-1，
∴BP=2BD=2

5

-2，
∴OP=BP+OB=2

5

，
∴P（2

5

，0），即t=2

5

．
故答案为：2

5

．