试题

如图，直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，P（a，b）是反比例函数y=

1

2x

在第一象限内图象上的一动点，PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，分别交线段AB于M、N
（1）点P在运动过程中，四边形OEPF能否为正方形？若能求出此时点P的坐标和∠MON度数，若不能，请说明理由．
（2）点P在运动过程中，AN·BM的值是否发生变化？若不变，求出AN·BM的值；若变化，求出AN·BM的值的变化范围．

解：（1）当a=b时，四边形OEPF是正方形，
则ab=

1

2

，故a²=

1

2

，
∵a＞0，
∴解得：a=

2

2

，
∴P（

2

2

，

2

2

），
∵M，N是直线y=-x+1上的两点，OE=

2

2

，
∴ME=y=-

2

2

+1=

2- 2

2

，

2

2

=-x+1，则FN=x=1-

2

2

=

2- 2

2

，
∴M（

2

2

，

2- 2

2

），N（

2- 2

2

，

2

2

），
将△OEM绕O逆时针旋转90°到△OFM'，
则NM'=FM'+FN=2FN=2-

2

，
PM=PE-ME=

2

2

-

2- 2

2

=

2

-1，
PN=FP-FN=

2

2

-

2- 2

2

=

2

-1，
∴MN=

PM2+PN2

=

(2- 2 )2

=2-

2

，
∴NM'=MN，
在△ONM和△ONM'中，

NO=NO OM=OM′ MN=M′N

，
∴△ONM≌△ONM'（SSS），
∴∠MON=∠MON'=

1

2

∠AOB=45°；

（2）过M作MC⊥y轴于C，过N作ND⊥x轴于D，
∵直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴y=0时，x=1，x=0时，y=1，
∴A点坐标为：（1，0），B点坐标为：（0，1），
∴AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AN=

2

ND=

2

b，BM=

2

MC=

2

a，
∵P（a，b）是反比例函数y=

1

2x

在第一象限内图象上的一动点，
∴2xy=1，则2ab=1，
∴AN·BM=2ab=1．
∴AN·BM为定值．
解：（1）当a=b时，四边形OEPF是正方形，
则ab=

1

2

，故a²=

1

2

，
∵a＞0，
∴解得：a=

2

2

，
∴P（

2

2

，

2

2

），
∵M，N是直线y=-x+1上的两点，OE=

2

2

，
∴ME=y=-

2

2

+1=

2- 2

2

，

2

2

=-x+1，则FN=x=1-

2

2

=

2- 2

2

，
∴M（

2

2

，

2- 2

2

），N（

2- 2

2

，

2

2

），
将△OEM绕O逆时针旋转90°到△OFM'，
则NM'=FM'+FN=2FN=2-

2

，
PM=PE-ME=

2

2

-

2- 2

2

=

2

-1，
PN=FP-FN=

2

2

-

2- 2

2

=

2

-1，
∴MN=

PM2+PN2

=

(2- 2 )2

=2-

2

，
∴NM'=MN，
在△ONM和△ONM'中，

NO=NO OM=OM′ MN=M′N

，
∴△ONM≌△ONM'（SSS），
∴∠MON=∠MON'=

1

2

∠AOB=45°；

（2）过M作MC⊥y轴于C，过N作ND⊥x轴于D，
∵直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴y=0时，x=1，x=0时，y=1，
∴A点坐标为：（1，0），B点坐标为：（0，1），
∴AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AN=

2

ND=

2

b，BM=

2

MC=

2

a，
∵P（a，b）是反比例函数y=

1

2x

在第一象限内图象上的一动点，
∴2xy=1，则2ab=1，
∴AN·BM=2ab=1．
∴AN·BM为定值．