试题

如图，直线y=x+b的双曲线y=

m

x

(x＜0)交于点A（-1，-5），并分别与x轴、y轴交于点C、B．
（1）写出b、m的值；
（2）连结OA，求∠OAB的正切值；
（3）点D在x轴的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB相似，试求点D的坐标．

解：（1）∵直线y=x+b的双曲线y=

m

x

(x＜0)交于点A（-1，-5），
∴-1+b=-5，m=（-1）×（-5）=5，
∴解得：b=-4，m=5；

（2）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，过点O作OF⊥BC于点F，
∵A（-1，-5），
∴AE=1，EO=5，∴AO=

26

，
∵y=x-4，
∴图象与x轴交点坐标为：（4，0），与y轴交点坐标为：（0，-4），
∴CO=OB=4，
又∵OF⊥BC，
∴FO=

1

2

BC=

1

2

42+42

=2

2

，
∴AF=

26-(2 2 )2

=3

2

，
∴∠OAB的正切值为：tan∠OAB=

OF

AF

=

2

3

；

（3）解：如图2所示：
∵CO=OB=4，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABE=45°，∠BCD=135°，
∴∠ABO=135°，
∵AB=

12+12

=

2

，BO=4，BC=4

2

，
当△AOB∽DBC时，

AB

CD

=

BO

BC

，
∴

2

CD

=

4

4 2

，
解得：CD=2，
∴DO=6，
∴D点坐标为：（6，0），
当△AOB∽BD′C时，

AB

BC

=

BO

CD′

，
∴

2

4 2

=

4

CD′

，
解得：CD′=16，
∴D′O=16=4=20，
∴D′点坐标为：（20，0），
故符合要求的D点坐标为：（6，0），（20，0）．
解：（1）∵直线y=x+b的双曲线y=

m

x

(x＜0)交于点A（-1，-5），
∴-1+b=-5，m=（-1）×（-5）=5，
∴解得：b=-4，m=5；

（2）如图1，过点A作AE⊥y轴于点E，过点O作OF⊥BC于点F，
∵A（-1，-5），
∴AE=1，EO=5，∴AO=

26

，
∵y=x-4，
∴图象与x轴交点坐标为：（4，0），与y轴交点坐标为：（0，-4），
∴CO=OB=4，
又∵OF⊥BC，
∴FO=

1

2

BC=

1

2

42+42

=2

2

，
∴AF=

26-(2 2 )2

=3

2

，
∴∠OAB的正切值为：tan∠OAB=

OF

AF

=

2

3

；

（3）解：如图2所示：
∵CO=OB=4，∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠ABE=45°，∠BCD=135°，
∴∠ABO=135°，
∵AB=

12+12

=

2

，BO=4，BC=4

2

，
当△AOB∽DBC时，

AB

CD

=

BO

BC

，
∴

2

CD

=

4

4 2

，
解得：CD=2，
∴DO=6，
∴D点坐标为：（6，0），
当△AOB∽BD′C时，

AB

BC

=

BO

CD′

，
∴

2

4 2

=

4

CD′

，
解得：CD′=16，
∴D′O=16=4=20，
∴D′点坐标为：（20，0），
故符合要求的D点坐标为：（6，0），（20，0）．