试题

如图，已知y₁=k₁x+k₁（k₁≠0）与反比例函数y2=

k2

x

(k2≠0)的图象交于点A、C，其中A点坐标（1，1）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象写出在第一象限内，当取何值时，y₁＜y₂？
（3）若一次函数y₁=k₁x+k₁与x轴交于B点，连接OA，求△AOB的面积：
（4）在（3）的条件下，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将A（1，1）代入反比例解析式得：1=

k2

1

，即k₂=1，
则反比例解析式为y₂=

1

x

；
（2）由图象可得：当0＜x＜1时，y₁＜y₂；
（3）将A（1，1）代入一次函数解析式得：1=k₁+k₁，即k₁=

1

2

，
∴一次函数解析式为y₁=

1

2

x+

1

2

，
令y=0，得x=-1，∴B（-1，0），即OB=1，
则S_△AOB=

1

2

×OB×y_A纵坐标=

1

2

×1×1=

1

2

；
（4）存在．
当OA为底边时，此时△AOP₁为等腰直角三角形，P₁（1，0）；
当OA为腰时，以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₃，P₂，
∵A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，
∴OP₃=OP₂=

2

，
此时P₂（

2

，0），P₃（-

2

，0）；
以A为圆心AO为半径画弧，与x轴交于P₄，
∵OA=AP₄，AP₁⊥OP₄，
∴OP₁=P₁P₄=1，
∴OP₄=2，此时P₄（2，0），
综上，P的坐标为（1，0）或（

2

，0）或（-

2

，0）或（2，0）．
解：（1）将A（1，1）代入反比例解析式得：1=

k2

1

，即k₂=1，
则反比例解析式为y₂=

1

x

；
（2）由图象可得：当0＜x＜1时，y₁＜y₂；
（3）将A（1，1）代入一次函数解析式得：1=k₁+k₁，即k₁=

1

2

，
∴一次函数解析式为y₁=

1

2

x+

1

2

，
令y=0，得x=-1，∴B（-1，0），即OB=1，
则S_△AOB=

1

2

×OB×y_A纵坐标=

1

2

×1×1=

1

2

；
（4）存在．
当OA为底边时，此时△AOP₁为等腰直角三角形，P₁（1，0）；
当OA为腰时，以O为圆心，OA长为半径画弧，与x轴交于P₃，P₂，
∵A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，
∴OP₃=OP₂=

2

，
此时P₂（

2

，0），P₃（-

2

，0）；
以A为圆心AO为半径画弧，与x轴交于P₄，
∵OA=AP₄，AP₁⊥OP₄，
∴OP₁=P₁P₄=1，
∴OP₄=2，此时P₄（2，0），
综上，P的坐标为（1，0）或（

2

，0）或（-

2

，0）或（2，0）．