试题

阅读理解：对于任意正实数a，b，（

a

-

b

）²≥0，∴a-2

ab

+b≥0，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2

ab

（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2

p

，
只有当a=b时，a+b有最小值2

p

．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=时，m+

1

m

有最小值；
（2）探索应用：已知A（-3，0），B（0，-4），点P为双曲线y=

12

x

(x＞0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．

解：（1）∵m+

1

m

≥2

m· 1 m

=2，当且仅当m=

1

m

时，取等号，
又∵m＞0，
∴只有当m=1时，m+

1

m

有最小值为2；
故答案为：1，2；

（2）设点P的坐标为（x，

12

x

），
∴OD=

12

x

，OC=x，
∵A（-3，0），B（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
∴S_{四边形ABCD}=S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD=

1

2

OA·OD+

1

2

OA·OB+

1

2

OB·OC+

1

2

OD·OC=

1

2

×3×

12

x

+

1

2

×3×4+

1

2

×4×x+

1

2

×x×

12

x

=

18

x

+2x+12≥2

18 x ×2x

+12=24，
当且仅当

18

x

=2x时，取等号，
∵x＞0，
∴当x=3时，四边形ABCD面积的最小值为24；
∴OD=4，OC=3，
∴OD=OB=4，OA=OC=3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴当x=3时，四边形ABCD面积的最小值为24，且此时四边形ABCD是菱形．