试题

如图，已知A（-1，n），B（

1

2

，-2）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=

m

x

的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求方程kx+b-

m

x

=0的解（请直接写出答案）；
（4）在y轴上是否存在一点P，使三角形PAO为等腰三角形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）∵B（

1

2

，-2）是反比例函数 y=

m

x

的图象的点，
∴m=（-2）×

1

2

，
∴y=-

1

x

，
∵A（-1，n）点也在反比例函数 y=

m

x

的图象上，
∴-n=m=-1，
∴n=1，
∴将A（-1，1），B（

1

2

，-2）代入y=kx+b得：

-k+b=1 1 2 k+b=-2

，
解得：

k=-2 b=-1

，
则一次函数解析式为：y=-2x-1；

（2）直线AB与x轴交点C的坐标为：当y=0时，x=-

1

2

，
则C点坐标为：(-

1

2

，0)；
△AOB的面积为：S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

1

2

×1+

1

2

×

1

2

×2=

3

4

；

（3）方程kx+b-

m

x

=0的解即为两函数图象的交点的横坐标，
故方程kx+b-

m

x

=0的解为：-1或

1

2

；

（4）如图所示：∵A（-1，1），
∴AO=

2

，当AO=AP₁=

2

时，P₁坐标为：（0，2），
当AO=OP₂=

2

时，P₂坐标为：（0，

2

），
当AP₃=OP₃=1时，P₃坐标为：（0，1），
当AO=OP₄=

2

时，P₄坐标为：（0，-

2

），
综上所述：在y轴上存在4个点P，使三角形PAO为等腰三角形
分别为：（0，2）（0，1）（0，

2

）（0，一

2

）．
解：（1）∵B（

1

2

，-2）是反比例函数 y=

m

x

的图象的点，
∴m=（-2）×

1

2

，
∴y=-

1

x

，
∵A（-1，n）点也在反比例函数 y=

m

x

的图象上，
∴-n=m=-1，
∴n=1，
∴将A（-1，1），B（

1

2

，-2）代入y=kx+b得：

-k+b=1 1 2 k+b=-2

，
解得：

k=-2 b=-1

，
则一次函数解析式为：y=-2x-1；

（2）直线AB与x轴交点C的坐标为：当y=0时，x=-

1

2

，
则C点坐标为：(-

1

2

，0)；
△AOB的面积为：S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

1

2

×1+

1

2

×

1

2

×2=

3

4

；

（3）方程kx+b-

m

x

=0的解即为两函数图象的交点的横坐标，
故方程kx+b-

m

x

=0的解为：-1或

1

2

；

（4）如图所示：∵A（-1，1），
∴AO=

2

，当AO=AP₁=

2

时，P₁坐标为：（0，2），
当AO=OP₂=

2

时，P₂坐标为：（0，

2

），
当AP₃=OP₃=1时，P₃坐标为：（0，1），
当AO=OP₄=

2

时，P₄坐标为：（0，-

2

），
综上所述：在y轴上存在4个点P，使三角形PAO为等腰三角形
分别为：（0，2）（0，1）（0，

2

）（0，一

2

）．