试题

如图，直线y=

1

2

x+2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S_△ABP=9．求：
（1）求点A、C的坐标；
（2）求反比例函数解析式；
（3）设点R与点P在同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标．

解：（1）设A（a，0），C（0，c）由题意得

1 2 a+2=0 c=2

解得：

a=-4 c=2

∴A（-4，0），C（0，2）

（2）根据已知条件可得A点坐标为（-4，0），
C点坐标为（0，2），
即AO=4，OC=2，
又∵S_△ABP=9，
∴AB·BP=18，
又∵PB⊥x轴·OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴

AO

AB

=

OC

BP

即

4

AB

=

2

BP

，
∴2BP=AB，
∴2BP²=18，
∴BP²=9，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；
设反比例函数的解析式为y=

k

x

，
由题意得y=

k

2

，解得k=6
∴反比例函数的解析式为y=

6

x

；

（3）设R点的坐标为（x，y）
∵P点坐标为（2，3），
∴反比例函数解析式为y=

6

x

，
当△BTR∽△AOC时，
∴

AO

OC

=

BT

RT

，
即

4

2

=

x-2

y

，
则有

y= 6 x 2y=x-2

，
解得

x= 13 +1 y= 13 -1 2

，
当△BRT∽△COA时
∴

AO

OC

=

RT

BT

，
即

4

2

=

y

x-2

解得x₁=3，x₂=-1（不符合题意应舍去）
∴R的坐标为（

13

+1，

13 -1

2

）或（3，2）．
解：（1）设A（a，0），C（0，c）由题意得

1 2 a+2=0 c=2

解得：

a=-4 c=2

∴A（-4，0），C（0，2）

（2）根据已知条件可得A点坐标为（-4，0），
C点坐标为（0，2），
即AO=4，OC=2，
又∵S_△ABP=9，
∴AB·BP=18，
又∵PB⊥x轴·OC∥PB，
∴△AOC∽△ABP，
∴

AO

AB

=

OC

BP

即

4

AB

=

2

BP

，
∴2BP=AB，
∴2BP²=18，
∴BP²=9，
∴BP=3，
∴AB=6，
∴P点坐标为（2，3）；
设反比例函数的解析式为y=

k

x

，
由题意得y=

k

2

，解得k=6
∴反比例函数的解析式为y=

6

x

；

（3）设R点的坐标为（x，y）
∵P点坐标为（2，3），
∴反比例函数解析式为y=

6

x

，
当△BTR∽△AOC时，
∴

AO

OC

=

BT

RT

，
即

4

2

=

x-2

y

，
则有

y= 6 x 2y=x-2

，
解得

x= 13 +1 y= 13 -1 2

，
当△BRT∽△COA时
∴

AO

OC

=

RT

BT

，
即

4

2

=

y

x-2

解得x₁=3，x₂=-1（不符合题意应舍去）
∴R的坐标为（

13

+1，

13 -1

2

）或（3，2）．