试题

直线l经过A（1，0）且与双曲线y=

m

x

(x＞0)在第一象限交于点B（2，1），过点P（p+1，p-1）（p＞1）作x轴的平行线分别交于双曲线y=

m

x

(x＞0)和y=-

m

x

（x＜0）于M，N两点，
（1）求m的值及直线l的解析式；
（2）直线y=-x-3与x轴、y轴分别交于点C、D，点E在直线y=-x-3上，且点E在第三象限，使得

CE

ED

=2，平移线段ED得线段HQ（点E与H对应，点D与Q对应），使得H、Q恰好都落在y=

m

x

的图象上，求H、Q两点坐标．
（3）是否存在实数p，使得S_△AMN=4S_△APM？若存在，求所有满足条件的p的值，若不存在，请说明理由．

解：（1）由点B（2，1）在y=

m

x

上，有1=

m

2

，即m=2．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由点A（1，0），点B（2，1）在y=kx+b上，
得

k+b=0 2k+b=1

，
解得

k=1 b=-1

，
故所求直线l的解析式为y=x-1；

（2）∵直线y=-x-3与x轴、y轴分别交于点C、D，点E在直线y=-x-3上，且点E在第三象限，使得

CE

ED

=2，
∴D点的横坐标比E点的横坐标大1，D点的纵坐标比E点的纵坐标小1；
∴H点的横坐标比Q点的横坐标大1，H点的纵坐标比Q点的纵坐标小1，
设H点的坐标为（u，v），Q点的坐标（u+1，v-1），则

uv=2 (u+1)(v-1)=2

，
解得

u1=1 v1=2

，

u2=-2 v2=-1

（不合题意舍去），
则H点的坐标为（1，2），Q点的坐标（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵P点坐标为（p+1，p-1），MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
∴M（

2

p-1

，p-1），N（-

2

p-1

，p-1），可得MN=

4

p-1

，
∴S_△AMN=

1

2

·

4

p-1

·（p-1）=2，
当p＞1时，S_△APM=

1

2

（p+1-

2

p-1

）（p-1）=

1

2

（p²-3），
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4×

1

2

（p²-3）=2，
解得p₁=-2（不合题意，舍去），p₂=2．
∴满足条件的p的值为2．
解：（1）由点B（2，1）在y=

m

x

上，有1=

m

2

，即m=2．
设直线l的解析式为y=kx+b，
由点A（1，0），点B（2，1）在y=kx+b上，
得

k+b=0 2k+b=1

，
解得

k=1 b=-1

，
故所求直线l的解析式为y=x-1；

（2）∵直线y=-x-3与x轴、y轴分别交于点C、D，点E在直线y=-x-3上，且点E在第三象限，使得

CE

ED

=2，
∴D点的横坐标比E点的横坐标大1，D点的纵坐标比E点的纵坐标小1；
∴H点的横坐标比Q点的横坐标大1，H点的纵坐标比Q点的纵坐标小1，
设H点的坐标为（u，v），Q点的坐标（u+1，v-1），则

uv=2 (u+1)(v-1)=2

，
解得

u1=1 v1=2

，

u2=-2 v2=-1

（不合题意舍去），
则H点的坐标为（1，2），Q点的坐标（2，1）；

（3）存在．理由如下：
∵P点坐标为（p+1，p-1），MN∥x轴，
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
∴M（

2

p-1

，p-1），N（-

2

p-1

，p-1），可得MN=

4

p-1

，
∴S_△AMN=

1

2

·

4

p-1

·（p-1）=2，
当p＞1时，S_△APM=

1

2

（p+1-

2

p-1

）（p-1）=

1

2

（p²-3），
∵S_△AMN=4S_△APM，
∴4×

1

2

（p²-3）=2，
解得p₁=-2（不合题意，舍去），p₂=2．
∴满足条件的p的值为2．