试题

如图1，已知C、D是双曲线y=

m

x

在第一象限内的分支上两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B，CG⊥x轴于G，DH⊥x轴于H，

OG

GC

=

DH

OH

=

1

4

，OC=

17

．
（1）求m的值和D点的坐标；
（2）在双曲线第一象限内的分支上是否有一点P，使得S_△POC=S_△POD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点K是双曲线y=

m

x

在第三象限内的分支上的一动点，过点K作KM⊥y轴于M，OE平分∠KOA，KE⊥OE，KE交y轴于N，直线ME交x轴于F，①

OF2+MN2

ON2

，②

OF+MN

ON

，有一个为定值，请你选择正确结论并求出这个定值．

解：（1）∵

OG

GC

=

1

4

（已知），
∴设OG=a，GC=4a
∵OG²+GC²=OC²（勾股定理），OC=

17

，
∴a2+(4a)2=(

17

)2
∴a²=1
∵a＞0，
∴a=1，
∴OG=1，GC=4，
∴C（1，4）；
把 C（1，4）代入y=

m

x

得：m=1×4=4，即m=4；
∵

DH

OH

=

1

4

（已知）
∴设DH=b，OH=4b，
∴D（4b，b），
把D（4b，b）代入y=

4

x

得：4b²=4b=1
∵b＞0，∴b=1
∴DH=1，OH=4，
∴D（4，1）；

（2）在双曲线第一象限内的分支上有一点P，使得S_△POC=S_△POD．
理由如下：由（1）知，C（1，4）、D（4，1），
∴DO=CO=

17

（勾股定理）．
如图1，过P作PM⊥OC，PN⊥OD，
要使S_△POC=S_△POD
∴PM=PN，
∴P在∠COD的角平分线上；
在Rt△OGC和Rt△DHO中，
∵

OC=OD CG=OH

，
∴Rt△OGC≌Rt△DHO（HL），
∴∠OCG=∠DOH（全等三角形的对应角相等）；
又∵CG∥BO，
∴∠OCG=∠BOC（两直线平行，内错角相等），
∴∠BOC=∠DOH（等量代换），即PO平分∠BOA，
∴∠POA=45°．  
过P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ=OQ．
故设P（a，a）（a＞0），则a=

m

a

=

4

a

，
解得，a=2，
∴点P的坐标为（2，2）；

（3）结论①对，

OF2+MN2

ON2

=1；
证明如下：如图2，延长OE、KM交于Q，连接NQ．∵KM⊥y轴，
∴KM∥OF，
∴∠KQO=∠FOQ，
又∵OE平分∠KOA，
∴∠KQO=∠FOQ=∠KOQ（等量代换），
∴KQ=KO、OE=EQ
即KE是OQ中垂线，
∴ON=QN，
易证△OEF≌△QEM，
∴MQ=OF，
在Rt△MNQ中，QN²=MQ²+MN²，
即ON²=OF²+MN²

OF2+MN2

ON2

=1．
解：（1）∵

OG

GC

=

1

4

（已知），
∴设OG=a，GC=4a
∵OG²+GC²=OC²（勾股定理），OC=

17

，
∴a2+(4a)2=(

17

)2
∴a²=1
∵a＞0，
∴a=1，
∴OG=1，GC=4，
∴C（1，4）；
把 C（1，4）代入y=

m

x

得：m=1×4=4，即m=4；
∵

DH

OH

=

1

4

（已知）
∴设DH=b，OH=4b，
∴D（4b，b），
把D（4b，b）代入y=

4

x

得：4b²=4b=1
∵b＞0，∴b=1
∴DH=1，OH=4，
∴D（4，1）；

（2）在双曲线第一象限内的分支上有一点P，使得S_△POC=S_△POD．
理由如下：由（1）知，C（1，4）、D（4，1），
∴DO=CO=

17

（勾股定理）．
如图1，过P作PM⊥OC，PN⊥OD，
要使S_△POC=S_△POD
∴PM=PN，
∴P在∠COD的角平分线上；
在Rt△OGC和Rt△DHO中，
∵

OC=OD CG=OH

，
∴Rt△OGC≌Rt△DHO（HL），
∴∠OCG=∠DOH（全等三角形的对应角相等）；
又∵CG∥BO，
∴∠OCG=∠BOC（两直线平行，内错角相等），
∴∠BOC=∠DOH（等量代换），即PO平分∠BOA，
∴∠POA=45°．  
过P作PQ⊥x轴于点Q，则PQ=OQ．
故设P（a，a）（a＞0），则a=

m

a

=

4

a

，
解得，a=2，
∴点P的坐标为（2，2）；

（3）结论①对，

OF2+MN2

ON2

=1；
证明如下：如图2，延长OE、KM交于Q，连接NQ．∵KM⊥y轴，
∴KM∥OF，
∴∠KQO=∠FOQ，
又∵OE平分∠KOA，
∴∠KQO=∠FOQ=∠KOQ（等量代换），
∴KQ=KO、OE=EQ
即KE是OQ中垂线，
∴ON=QN，
易证△OEF≌△QEM，
∴MQ=OF，
在Rt△MNQ中，QN²=MQ²+MN²，
即ON²=OF²+MN²

OF2+MN2

ON2

=1．