试题

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=

k

x

的图象交于M、N两点．
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连接OM、ON，求三角形OMN的面积．
（3）连接OM，在x轴的正半轴上是否存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，若不存在，说明理由．

解：（1）把N（-1，-4）代入y=

k

x

得：k=4，
∴y=

4

x

，
把M（2，m）代入得：m=2，
∴M（2，2），
把N（-1，-4），M（2，2）代入y=ax+b得：

-4=-a+b 2=2a+b

，
解得：a=2，b=-2，
∴y=2x-2，
答：反比例函数的解析式是y=

4

x

，一次函数的解析式是y=2x-2．

（2）设MN交x轴于C，
y=2x-2，
当y=0时，x=1，
∴C（1，0），
OC=1，
∴△MON的面积是S=S_△MOC+S_△NOC=

1

2

×1×2+

1

2

×1×|-4|=3，
答：三角形MON的面积是3．

（3）当OM=OQ时，Q的坐标是（2

2

，0）；
当OM=MQ时，Q的坐标是（4，0）；
当OQ=QM时，Q的坐标是（2，0）；
答：在x轴的正半轴上存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是（2

2

，0）或（4，0）或（2，0）．
解：（1）把N（-1，-4）代入y=

k

x

得：k=4，
∴y=

4

x

，
把M（2，m）代入得：m=2，
∴M（2，2），
把N（-1，-4），M（2，2）代入y=ax+b得：

-4=-a+b 2=2a+b

，
解得：a=2，b=-2，
∴y=2x-2，
答：反比例函数的解析式是y=

4

x

，一次函数的解析式是y=2x-2．

（2）设MN交x轴于C，
y=2x-2，
当y=0时，x=1，
∴C（1，0），
OC=1，
∴△MON的面积是S=S_△MOC+S_△NOC=

1

2

×1×2+

1

2

×1×|-4|=3，
答：三角形MON的面积是3．

（3）当OM=OQ时，Q的坐标是（2

2

，0）；
当OM=MQ时，Q的坐标是（4，0）；
当OQ=QM时，Q的坐标是（2，0）；
答：在x轴的正半轴上存在点Q，使△MOQ是等腰三角形，所有符合条件的点Q的坐标是（2

2

，0）或（4，0）或（2，0）．