试题

如图，一次函数y=-

1

2

x-2的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=

k

x

（x＜0）的图象于点Q，且tan∠AOQ=

1

2

．
（1）A点坐标为，B点坐标为；
（2）求反比例函数的表达式；
（3）连接OP、AQ，求证：四边形APOQ是菱形．

（1）解：对于y=-

1

2

x-2，令y=0，则-

1

2

x-2=0，解得x=-4，∴A点坐标为（-4，0）；
令x=0，则y=-2，所以B点坐标为（0，-2）；
故答案为（-4，0）；（0，-2）；

（2）解：∵P为AB的中点，PC⊥x轴，
∴C为OA的中点，即OC=

1

2

OA=2，
∴C点坐标为（-2，0），
又∵tan∠AOQ=

1

2

，
∴

QC

OC

=

1

2

，
∴QC=1，
∴Q点的坐标为（-2，1），
把Q（-2，1）代入y=

k

x

得k=-2，
∴反比例函数的表达式为y=-

2

x

；

（3）证明：∵C点坐标为（-2，0），
把x=-2代入y=-

1

2

x-2得y=-1，
∴P点坐标为（-2，-1），
而Q点的坐标为（-2，1），
∴点Q与点P关于x轴对称，
∴CQ=CP，
又∵OC=AC，OA⊥PQ，
∴四边形APOQ是菱形．