试题

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

3

4

x+6与x、y轴分别交于点A，点B，双曲线的解析式为y=

k

x

（1）求出线段AB的长；
（2）在双曲线第四象限的分支上存在一点C，使得CB⊥AB，且CB=AB，求k的值；
（3）在（1）（2）的条件下，连接AC，点D为BC的中点，过D作AC的垂线EF，交AC于E，交直线AB于F，连AD，若点P为射线AD上的一动点，连接PC、PF，当点P在射线AD上运动时，PF²-PC²的值是否发生改变？若改变，请求出其范围；若不变，请证明并求出定值．

解：（1）由y=

3

4

x+6与x、y轴分别交于点A，点B，
得：x=0时，y=6，y=0时，x=-8，
故A（-8，0），B（0，6），
∴AO=8，OB=6，
∴AB=

62+82

=10；

（2）作CD⊥y轴于点D，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∠CBO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BDC中，

∠BOA=∠BDC OAB=∠CBD AB=BC

，
∴△ABO≌△BDC（AAS），
∴CD=OB=6，BD=OA=8，
∴OD=BD-OB=8-6=2，
∴C（6，-2），
∴k=6×（-2）=-12；

（3）连接FC交AP于M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠BDF=∠EDC=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFD=∠BDF=45°，
∴BD=BF，
∵在△ABD和△CBF中，

BF=BD ∠CBF=∠ABD BC=BA

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴∠BAD=∠DCM，
∴∠DMC=∠ABD=90°，
∴PF ²-PC²=（FM²+MP²）-（CM²+MP²）
=FM²-CM²
=（DF²-DM²）-（CD²-DM²）
=DF²-CD²，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=5，
∴BF=5，
∴DF=

52+52

=5

2

，
∴PF ²-PC²=（5

2

）²-5²=25．
解：（1）由y=

3

4

x+6与x、y轴分别交于点A，点B，
得：x=0时，y=6，y=0时，x=-8，
故A（-8，0），B（0，6），
∴AO=8，OB=6，
∴AB=

62+82

=10；

（2）作CD⊥y轴于点D，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∠CBO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠CBD，
∵在△ABO和△BDC中，

∠BOA=∠BDC OAB=∠CBD AB=BC

，
∴△ABO≌△BDC（AAS），
∴CD=OB=6，BD=OA=8，
∴OD=BD-OB=8-6=2，
∴C（6，-2），
∴k=6×（-2）=-12；

（3）连接FC交AP于M，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵EF⊥AC，
∴∠BDF=∠EDC=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BFD=∠BDF=45°，
∴BD=BF，
∵在△ABD和△CBF中，

BF=BD ∠CBF=∠ABD BC=BA

，
∴△ABD≌△CBF（SAS），
∴∠BAD=∠DCM，
∴∠DMC=∠ABD=90°，
∴PF ²-PC²=（FM²+MP²）-（CM²+MP²）
=FM²-CM²
=（DF²-DM²）-（CD²-DM²）
=DF²-CD²，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD=5，
∴BF=5，
∴DF=

52+52

=5

2

，
∴PF ²-PC²=（5

2

）²-5²=25．