试题

题目：
青果学院（2013·温州模拟）如图，在Rt△OAB中，∠B=Rt∠，OB=2AB．线段AB的垂直平分线交反比例函数y=
2
x
（x＞0）的图象于点C，D为垂足，过C作CE⊥OB于点E．当四边形CDBE为正方形时，正方形CDBE的面积为
10
7
10
7
．
答案
10
7

解：延长EC、DC，分别交x轴与P、F点，作CH⊥x轴于H点，如图，青果学院
设正方形CDBE的边长为a，
∵FD垂直平分AB，
∴AB=2a，
∵OB=2AB，
∴OB=4a，
∵DF为△OAB的中位线，
∴FD=
1
2
OB=2a，
∴FC=2a-a=a，
∴CP为△FDA的中位线，
∴CP=
1
2
AD=
1
2
a，
在Rt△CFP中，PF=
CF2+CP2
=
5
2
a，
∴
1
2
CH·PF=
1
2
CP·CF，即
1
2
CH·
5
2
a=
1
2
a·
1
2
a，
∴CH=
5
5
a，
在Rt△CFH中，HF=
CF2-CH2
=
2
5
5
a，
在Rt△OAB中，OA=
OB2+AB2
=2
5
a，
∴OF=
1
2
OA=
5
a，
∴OH=OF+FH=
7
5
5
a，
∴C点坐标为（
7
5
5
a，
5
5
a），
把C（
7
5
5
a，
5
5
a）代入y=
2
x
得
7
5
5
a·
5
5
a=2，解得a2=
10
7
．
∴正方形CDBE的面积为
10
7
．
考点梳理
反比例函数综合题．
延长EC、DC，分别交x轴与P、F点，作CH⊥x轴于H点，设正方形CDBE的边长为a，根据垂直平分线的性质得AB=2a，则OB=2AB=4a，且可得到DF为△OAB的中位线，所以FD=
1
2
OB=2a，则FC=2a-a=a，于是CP为△FDA的中位线，CP=
1
2
AD=
1
2
a，在Rt△CFP中，根据勾股定理计算出PF=
5
2
a，利用面积法计算出CH=
5
5
a，在Rt△CFH中，根据勾股定理计算HF=
2
5
5
a，OA=2
5
a，所以OF=
1
2
OA=
5
a，则可确定C点坐标为（
7
5
5
a，
5
5
a），然后把C点坐标代入反比例解析式得到a2．
本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质；熟练运用勾股定理进行几何计算．
计算题．
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