试题

题目：
青果学院如图所示，Rt△OAB的A，B在反比例函数y=
6
3
x
图象上的两点，且∠OAB=90°，∠AOB=30°，则以OA为边长的正方形的面积为（　　）



答案
B
青果学院解：过点B作BF⊥y轴于点F，过点A作AE⊥x轴于点E，并延长FB，EA交于点C，
∵∠CFO=∠FOE=∠OEC=90°，
∴∠C=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠OEA=∠C，
∴△ABC∽△OAE，
∴
AB
AO
=
BC
AE
=
AC
EO
，
∵∠BOA=30°，∠OAB=90°，
∴
AB
AO
=tan30°=
3
3
，
∵A，B在反比例函数y=
6
3
x
图象上的两点，
设A点坐标为：（a，
6
3
a
），
∴可得：FC=EO=a，AE=
6
3
a
，
∴
BC
6
3
a
=
AC
a
=
3
3
，
解得：BC=
6
a
，AC=
3
3
a，
∴BF=a-
6
a
，EC=
6
3
a
+
3
3
a，
∴B点坐标为：（a-
6
a
，
6
3
a
+
3
3
a），
∴（a-
6
a
）×（
6
3
a
+
3
3
a）=6
3
，
整理得出：a4-6a2-108=0，
解得：a2=3±3
13
（负数不合题意舍去），
∴a2=3+3
13
，
AO2=a2+（
6
3
a
）2=3+3
13
+
108
3+3
13
=6
13
．
故选：B．
考点梳理
反比例函数综合题．
首先构造矩形，得出△ABC∽△OAE，则
AB
AO
=
BC
AE
=
AC
EO
，进而得出它们的比值，再假设出A点坐标，进而表示出B点坐标，再代入反比例函数解析式求出即可．
此题主要考查了反比例函数综合应用以及相似三角形的判定与性质等知识，根据A点坐标进而表示出B点坐标是解题关键．
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