试题

题目：
青果学院（2012·相城区一模）直线y=-2x+5分别与x轴，y轴交于点C、D，与反比例函数y=
3
x
的图象交于点A、B．过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，连接EF，下列结论：①AD=BC；②EF∥AB；③四边形AEFC是平行四边形；④S△AOD=S△BOC．其中正确的个数是（　　）



答案
D
解：青果学院如右图所示，
①∵y=-2x+5与y=
3
x
相交，
∴
y=-2x+5
y=
3
x
，
解得
x=1
y=3
或
x=
3
2
y=2
，
∴A点坐标是（1，3），B点坐标是（
3
2
，2），
∵直线y=-2x+5与x轴和y轴的交点分别是（
5
2
，0）、（0，5），
∴C点坐标是（
5
2
，0），D点坐标是（0，5），
∵AE⊥y轴，BF⊥x轴，
∴AE=1，DE=OD-OE=5-3=2，
在Rt△ADE中，AD=
12+22
=
5
，
同理可求BC=
5
，
故AD=BC，
故①选项正确；
②∵OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，
∴EF∥AB，
故②选项正确；
③∵AE=CF=1，且AE∥CF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
故③选项正确；
④∵S△AOD=
1
2
·OD·AE=
1
2
×5×1=2.5，
S△BOC=
1
2
·OC·BF=
1
2
×
5
2
×2=2.5，
∴S△AOD=S△BOC，
故④选项正确．
故选D．
考点梳理
反比例函数综合题．
①先把反比例函数、一次函数解析式联合组成方程组，解可求A、B坐标，根据y=-2x+5可求C、D的坐标，而AE⊥y轴，BF⊥x轴，结合A、B、C、D的坐标，可知AE=1，DE=OD-OE=5-3=2，在Rt△ADE中利用勾股定理可求AD=
5
，同理可求BC=
5
，于是AD=BC，①正确；
②根据A、B、C、D的坐标，易求OF：OE=1：2，OC：OD=1：2，即OF：OE=OC：OD，斜率相等的两直线平行，那么EF∥AB，故②正确；
③由于AE=CF=1，且AE∥CF，根据一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，可知四边形AEFC是平行四边形，故③正确；
④根据面积公式可分别求S△AOD，S△BOC，可知两个面积相等，故④正确．
本题考查了反比例函数、一次函数的性质、三角形面积公式、勾股定理、平行四边形的判定，解题的关键是熟练点与函数的关系，能根据函数解析式求出所需要的点．
压轴题；数形结合．
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