试题

（2011·眉山）如图，直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y=

k

x

（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：
①OA=OB
②△AOM≌△BON
③若∠AOB=45°，则S_△AOB=k
④当AB=

2

时，ON-BN=1；
其中结论正确的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4

D
解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=

k

x

中，得x₁·y₁=x₂·y₂=k，
联立

y=-x+b y= k x

，得x²-bx+k=0，
则x₁·x₂=k，又x₁·y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂·y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵②△AOM≌△BON，正确；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=

1

2

k+

1

2

k=k，正确；
④延长MA，NB交于G点，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=

2

时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确．

正确的结论有4个．
故选D．