试题

小阳同学在科技月制作了一个多档位电热器模型．为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影响，他将电表接入电路中，其电路如图所示，电源两端电压不变，
R₁=30Ω．当开关S闭合，S₁、S₂ 断开时，电压表示数为U₁，当S、S₁、S₂都闭合时，电压表示数为U₁′，已知U₁：U₁′=3：8；两种状态时，R₂消耗的功率最大值P_大和最小值P_小之比为4：1；R₃的最小功率为0.9W．请你帮小阳完成下列问题．
（1）计算电阻R₂的阻值；
（2）计算电源两端的电压；
（3）计算这个电热器模型中间两个档位的功率分别是多少．

解：（1）当开关S闭合，S₁、S₂ 断开时，三个电阻串联，则
U₁=

U

R1+R2+R3

· R1       ①
此时R₂消耗的功率最小，R₃消耗的功率最小，
P_小=（

U

R1+R2+R3

）²·R₂  ②
当S、S₁、S₂都闭合时，三个电阻并联，则
U₁′=U  　　　　③
此时R₂消耗的功率最大，
P_大=

U2

R2

　　　　　④
又知U₁：U₁′=3：8　　　　　⑤
P_大：P_小=4：1　　　　⑥
①②③④⑤⑥组成方程组解得：
R₂=40Ω；R₃=10Ω
答：电阻R₂的阻值是40Ω．
（2）当开关S闭合，S₁、S₂ 断开时，三个电阻串联，R₃消耗的功率最小，
（

U

R1+R2+R3

）²·R₃=0.9W
其中R₁=30Ω，R₂=40Ω，R₃=10Ω，代入数据得，U=24V
答：电源两端的电压为24V．
（3）当只闭合S和S₁时，R₁和R₂被短路，只有R₃被接入电路中；若只闭合S和S₂，则R₂和R₃被短路，只有R₁接入电路中．所以这两种情况是电热器的中间两个档位．
P_中=

U2

R3

=

(24V)2

10Ω

=57.6W
P_中′=

U2

R1

=

(24V)2

30Ω

=19.2W
答：中间两个档位的功率是19.2W和57.6W．
解：（1）当开关S闭合，S₁、S₂ 断开时，三个电阻串联，则
U₁=

U

R1+R2+R3

· R1       ①
此时R₂消耗的功率最小，R₃消耗的功率最小，
P_小=（

U

R1+R2+R3

）²·R₂  ②
当S、S₁、S₂都闭合时，三个电阻并联，则
U₁′=U  　　　　③
此时R₂消耗的功率最大，
P_大=

U2

R2

　　　　　④
又知U₁：U₁′=3：8　　　　　⑤
P_大：P_小=4：1　　　　⑥
①②③④⑤⑥组成方程组解得：
R₂=40Ω；R₃=10Ω
答：电阻R₂的阻值是40Ω．
（2）当开关S闭合，S₁、S₂ 断开时，三个电阻串联，R₃消耗的功率最小，
（

U

R1+R2+R3

）²·R₃=0.9W
其中R₁=30Ω，R₂=40Ω，R₃=10Ω，代入数据得，U=24V
答：电源两端的电压为24V．
（3）当只闭合S和S₁时，R₁和R₂被短路，只有R₃被接入电路中；若只闭合S和S₂，则R₂和R₃被短路，只有R₁接入电路中．所以这两种情况是电热器的中间两个档位．
P_中=

U2

R3

=

(24V)2

10Ω

=57.6W
P_中′=

U2

R1

=

(24V)2

30Ω

=19.2W
答：中间两个档位的功率是19.2W和57.6W．