试题

（2008·镇江）如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递．动点T（m，n）表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的M点开始传递，到离北京路1000米的N点时传递活动结束．迎圣火临时指挥部设在坐标原点O（北京路与奥运路的十字路口），OATB为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）．
（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（2）当鲜花方阵的周长为500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；
（3）设t=m-n，用含t的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）．

解：（1）设反比例函数为y=

k

x

（k＞0），
则k=xy=mn=S_矩形OATB=10000，
∴y=

10000

x

．

（2）设鲜花方阵的长为m米，则宽为（250-m）米，由题意得
m（250-m）=10000，
250m-m²=10000，
即m²-250m+10000=0，
解得m=50或m=200，满足题意．
∴此时火炬的坐标为（50，200）或（200，50）．

（3）∵mn=10000，在Rt△TAO中，
TO=

OA2+AT2

=

m2+n2

=

(m-n)2+2mn

=

t2+20000

．
∴当t=0时，TO最小，
∵t=m-n，
∴此时m=n，又mn=10000，m＞0，n＞0，
∴m=n=100，且10＜100＜1000，
∴T（100，100）．
解：（1）设反比例函数为y=

k

x

（k＞0），
则k=xy=mn=S_矩形OATB=10000，
∴y=

10000

x

．

（2）设鲜花方阵的长为m米，则宽为（250-m）米，由题意得
m（250-m）=10000，
250m-m²=10000，
即m²-250m+10000=0，
解得m=50或m=200，满足题意．
∴此时火炬的坐标为（50，200）或（200，50）．

（3）∵mn=10000，在Rt△TAO中，
TO=

OA2+AT2

=

m2+n2

=

(m-n)2+2mn

=

t2+20000

．
∴当t=0时，TO最小，
∵t=m-n，
∴此时m=n，又mn=10000，m＞0，n＞0，
∴m=n=100，且10＜100＜1000，
∴T（100，100）．