试题

（2011·清流县质检）星期天，小明在解答下列题目时卡壳了．
题目1：如图①，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O为△ABC内的一点，OC=1，OA=

3

，OB=

5

．求∠AOC的度数．
小明去请教小颖正在解答下列题目．
题目2：如图②，点O是等边三角形ABC内的一点，将△BCO绕C顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD．
（1）试判断△COD的形状，并说明理由；
（2）当∠COB=150°时，试判断△AOD的形状，并写出OA、OB、OC三者之间的等量关系式．
小颖说：“等等，等我做完了，我们一起来看．”小明看完，小颖做完后高兴地说：“哈哈，太好了，我会了．”聪明的同学，你能先解答完题目2，再根据解答所得到的启迪来完成题目1吗？写出你的解答过程．

解：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：当∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．
∵△BCO绕C顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，OB=AD，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，OC=OD
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；
∴OA²=OD²+AD²，
∴OA²=OC²+AO²；
解题目1：
解：将△BCO绕C顺时针方向旋转90°得到△ADC，连接OD，如图，
∴△BOC≌△ADC，
∴OC=CD=1，OB=AD=

5

，
∵∠OCD=90°且OC=CD=1，
∴∠COD=45°，OD=

2

．
又∵OA=

3

，
∴AD²=OA²+OD²
∴∠AOD=90°
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=135°．
解：（1）证明：∵CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形；
（2）解：当∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形．
∵△BCO绕C顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，OB=AD，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，OC=OD
∴∠ADO=90°，
即△AOD是直角三角形；
∴OA²=OD²+AD²，
∴OA²=OC²+AO²；
解题目1：
解：将△BCO绕C顺时针方向旋转90°得到△ADC，连接OD，如图，
∴△BOC≌△ADC，
∴OC=CD=1，OB=AD=

5

，
∵∠OCD=90°且OC=CD=1，
∴∠COD=45°，OD=

2

．
又∵OA=

3

，
∴AD²=OA²+OD²
∴∠AOD=90°
∴∠AOC=∠COD+∠AOD=135°．