如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是-青果题库-青果学院

题目：

（2012·犍为县模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE=CF；（2）△EPF是等腰直角三角形；（3）S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；（4）EF=AP．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（　　）
A．1个
B．3个
C．

1

4

D．

3

4

答案

D
解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=

1

2

∠BAC=45°，AP=

1

2

BC=CP．
（1）在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP．正确；
（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，∴△EPF是等腰直角三角形．正确；
（3）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△BPE=

1

2

S_△ABC．正确；
（4）不能得出EF=AP，错误．
故正确的结论的概率是

3

4

．
故选D．

考点梳理

旋转的性质；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；概率公式．

试题