试题

题目：
青果学院如图，圆锥形甜筒的母线长OA为6，AC是底面圆的直径，底面圆的半径为3．若一只蚂蚁在底面上点A处，在母线OC的中点B处有一粒残余甜点，蚂蚁要沿圆锥侧面吃到甜点，需要爬行的最短距离为
3
5
3
5
（计算结果保留根号）．
答案
3
5

青果学院解：由题意知，底面圆的直径AC=6，故底面周长等于6π．
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，6π=
6nπ
180
，
解得n=180，所以展开图中∠A′OB=90°，
根据勾股定理求得A′B=
OA′2+BO2
=
62+32
=3
5
，
故答案为：3
5
．
考点梳理
平面展开-最短路径问题；圆锥的计算．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
此题主要考查了平面展开图中最短路径问题，利用圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
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