试题

题目：
青果学院能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排成一圈后，任3个相邻数的和都等于29？如果能，请举一例．如果不能，请简述理由．
答案
解：不能．
理由：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，
满足任3个相邻数的和都等于29．
则a1+a2+a3=29，a2+a3+a4=29，a3+a4+a5=29，a4+a5+a6=29，
a5+a6+a7=29，a6+a7+a1=29，a7+a1+a2=29．
将上述7式相加，得3×（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）=29×7．
所以a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=
29×7
3
=67
2
3
，
与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!
所以不存在满足题设要求的7个整数．
解：不能．
理由：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，
满足任3个相邻数的和都等于29．
则a1+a2+a3=29，a2+a3+a4=29，a3+a4+a5=29，a4+a5+a6=29，
a5+a6+a7=29，a6+a7+a1=29，a7+a1+a2=29．
将上述7式相加，得3×（a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7）=29×7．
所以a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=
29×7
3
=67
2
3
，
与a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7为整数矛盾!
所以不存在满足题设要求的7个整数．
考点梳理
整数问题的综合运用；反证法．
假设7个整数为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，任3个相邻数的和都等于29的所有可能是：a1+a2+a3=29，a2+a3+a4=29，a3+a4+a5=29，a4+a5+a6=29，a5+a6+a7=29，a6+a7+a1=29，a7+a1+a2=29．把7个等式相加得出和不是整数，推出矛盾．
本题考查了整数问题的综合运用及反证法在解题中的运用．关键是假设7个整数，依题意列等式，通过等式变形，得出矛盾．
证明题．
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