试题

（1998·大连）如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点P．⊙O₂的弦AB切⊙O₁于点C，连接PA、PB，PC的延长线交⊙O₂于点D．求证：（1）∠APC=∠BPC；
（2）PC²+AC·BC=PA·PB．

证明：①过点P作两圆公切线MN，连接EC，AD，
则∠MPA=∠PCE=∠D．
∴EC∥AD．
∴∠ACE=∠CAD．
∵AB是⊙O₁的切线，
∴∠ACE=∠APC．
∵∠CAD=∠BPC，
∴∠APC=∠BPC．

②∵∠APC=∠BPC，∠B=∠D，
∴△PBC∽△PDA，
∴PB：PD=PC：PA，
∴PB·PA=PC·PD=PC（PC+CD）=PC²+PC·CD，
∵PC·PD=AC·BC，
∴PC²+AC·BC=PA·PB．
证明：①过点P作两圆公切线MN，连接EC，AD，
则∠MPA=∠PCE=∠D．
∴EC∥AD．
∴∠ACE=∠CAD．
∵AB是⊙O₁的切线，
∴∠ACE=∠APC．
∵∠CAD=∠BPC，
∴∠APC=∠BPC．

②∵∠APC=∠BPC，∠B=∠D，
∴△PBC∽△PDA，
∴PB：PD=PC：PA，
∴PB·PA=PC·PD=PC（PC+CD）=PC²+PC·CD，
∵PC·PD=AC·BC，
∴PC²+AC·BC=PA·PB．