试题

如图：已知正方形ABCD的对角线AC长为20cm，半径为1的⊙O₁的圆心O₁从A点出发以1cm/s的速度向C运动，半径为1的⊙O₂的圆心O₂从C点出发以2cm/s的速度向A运动且半径同时也以1cm/s的速度不断增大，两圆同时运动，当其中一个圆的圆心运动到AC的端点时，另一个圆也停止运动．
（1）当O₁运动了几秒时，⊙O₁与AD相切？
（2）当O₂运动了几秒时，⊙O₂与CB相切？
（3）当O₂运动了几秒时，⊙O₂与⊙O₂相切？

解：（1）

设⊙O₁运动了t秒时⊙O₁与AD相切于E连接OE，
∴OE⊥AD，
∵AC为正方形的对角线，∴△A O₁E为等腰直角三角形，
∴AE=O₁E=1，
∵A O₁=t
∴t²=1²+1²，
解得t₁=

2

，t₂=-

2

（舍去），
当O₁运动了

2

秒时⊙O₁与AD相切；

（2）设O₂运动了t秒时，⊙O₂与BC相切于F，则△C O₂F为等腰直角三角形，
∴CF=O₂F=t+1，
∵C O₂=2t，
∴（2t）²=（t+1）²+（t+1）²
解得t1=

2

+1，t2=1-

2

（舍去），
∴当O₂运动了（

2

+1）秒时，⊙O₂与BC相切；

（3）设运动了t秒时⊙O₁，⊙O₂相切，则O₁A=t，O₂C=2t，
①如图③⊙O₁与⊙O₂第一次相切时，则O₁ O₂=1+t+1，
∵O₁ O₂=AC-O₁A-O₂C，
∴1+t+1=20-t-2t，解得t=

18

4

，
②如图④⊙O₁与⊙O₂第二次相切时则O₁ O₂=t+1-1，
∵O₁ O₂=20-t-2t，
∴t+1-1=20-t-2t  解得t=5，
③如图⑤⊙O₁与⊙O₂第三次相切时则O₁ O₂=t+1-1=t，
∵O₁ O₂=O₁A-O₂C-AC=t+2t-20，
∴t=t+2t-20，
 解得t=10，
∵t=10时，O₂C=2×10=20∴此时O₂落在AC的端点A上，
∴当运动了4.5秒、5秒、10秒时⊙O₁与⊙O₂相切．
解：（1）

设⊙O₁运动了t秒时⊙O₁与AD相切于E连接OE，
∴OE⊥AD，
∵AC为正方形的对角线，∴△A O₁E为等腰直角三角形，
∴AE=O₁E=1，
∵A O₁=t
∴t²=1²+1²，
解得t₁=

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，t₂=-

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（舍去），
当O₁运动了

2

秒时⊙O₁与AD相切；

（2）设O₂运动了t秒时，⊙O₂与BC相切于F，则△C O₂F为等腰直角三角形，
∴CF=O₂F=t+1，
∵C O₂=2t，
∴（2t）²=（t+1）²+（t+1）²
解得t1=

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+1，t2=1-

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（舍去），
∴当O₂运动了（

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+1）秒时，⊙O₂与BC相切；

（3）设运动了t秒时⊙O₁，⊙O₂相切，则O₁A=t，O₂C=2t，
①如图③⊙O₁与⊙O₂第一次相切时，则O₁ O₂=1+t+1，
∵O₁ O₂=AC-O₁A-O₂C，
∴1+t+1=20-t-2t，解得t=

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②如图④⊙O₁与⊙O₂第二次相切时则O₁ O₂=t+1-1，
∵O₁ O₂=20-t-2t，
∴t+1-1=20-t-2t  解得t=5，
③如图⑤⊙O₁与⊙O₂第三次相切时则O₁ O₂=t+1-1=t，
∵O₁ O₂=O₁A-O₂C-AC=t+2t-20，
∴t=t+2t-20，
 解得t=10，
∵t=10时，O₂C=2×10=20∴此时O₂落在AC的端点A上，
∴当运动了4.5秒、5秒、10秒时⊙O₁与⊙O₂相切．